高考数学第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数教学案文（含解析）北师大版

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1、第五节　指数与指数函数[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．有理数指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars

2、(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质y＝axa＞10＜a＜1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数指数函数的图像与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像越高，底数越大．[基础自测]1．(

3、思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝－4．(　　)(2)(－1)＝(－1)＝．(　　)(3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)A．－9　　B．7　　　　C．－10　　D．9B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　3．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)等于(　　)A．B．C．D．4B　[由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)

4、＝，所以f(－1)＝＝.]4．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　DC　[令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C．]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是(　　)A．＝n7m　　B．＝C．＝(x＋y)D．＝D　[＝(9)＝9＝3＝，故选D.]2．若a＞0，b＞0，则化简＝________.ab－1　3．化简＋

5、0.002－10(－2)－1＋3π0＋＝________.－16　[原式＝＋500－＋3＋＝＋10－10(＋2)＋3＋＝－16.]4．若x＋x＝3，则＝________.　[由x＋x＝3得x＋x－1＋2＝9.所以x＋x－1＝7.同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47.x＋x＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.所以＝＝.][规律方法]　指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根

6、式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题．易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图像及应用【例1】　(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝

7、3x－1

8、与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D　(2)(2,

9、4)　(3){0}∪[1，＋∞)　[(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上是减少的，所递减以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝

10、3x－1

11、的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝

12、3x－1

13、的图像有唯一的交点．][规律方法]　指数函数图像应用的4个技巧(1)画指数函

14、数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键