高中数学考前过关训练（三）（含解析）新人教A版选修

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1、考前过关训练(三)导数及其应用(30分钟　50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2016·临沂高二检测)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程是　(　　)A.y=3x-1B.y=-3x+5C.y=3x+5D.y=2x【解析】选A.y′=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为　(　　)A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.

2、4x-y+3=0D.x+4y+3=0【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4.而y′=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为　(　　)【解析】选D.原函数的单调性是:当x<0时,增;当x>0时,单调性变化依次为增、减、增.故当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)的符号变化依次为+,-,+.3.如图所示是函数f(x)=x3+bx2+c

3、x+d的大致图象,则+等于　(　　)A.B.C.D.【解析】选C.由图象知f(x)=0的根为0,1,2,所以d=0.所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).所以x2+bx+c=0的两根为1和2.所以b=-3,c=2.所以f(x)=x3-3x2+2x,则f′(x)=3x2-6x+2.因为x1,x2是方程f′(x)=0的两根,所以x1+x2=2,x1x2=.所以+=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×=.4.(2016·聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0对任意正

4、数a,b,若a

5、(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3【解题指南】利用基本初等函数的导数公式,求导后,表示出两“切线”的斜率,判断它们的乘积是否为-1.【解析】选A.对于A,函数y=sinx,y′=cosx,设图象上存在这样两点(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么两切线的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1·k2=cosx1·cosx2=-1,则x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在这样的两点,所以具有T性质.对于B,函数

6、y=lnx,y′=,k1·k2=·,而x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=lnx不具有T性质.对于C,函数y=ex,y′=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.对于D,函数y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为　(　　)A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π【解析】选C.设圆柱高为x,即长方形的宽为x,则圆柱底面周长即长方形的长为=6-x,所以

7、圆柱底面半径:R=,所以圆柱的体积V=πR2h=πx=,所以V′==,当x<2或x>6时,V′>0,函数单调递增;当26时,函数无实际意义,所以x=2时体积最大,此时底面周长=6-2=4,该圆柱底面周长与高的比:4∶2=2∶1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·海南高二检测)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是　　　　　.【解析】要使f′(x)=3ax2+1=0有解,则x2=->0,所以函数f(x)有极值的充要条件是a<0.答案:a<08.(2016·武汉高二调研)若

8、函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是　　　　　.【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,所以Δ=02-4×(-4)×a>0,所以a>0.答案:(