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《高中数学第二章抛物线课后提升作业（十七）2.3.2.2抛物线方程及性质的应用检测（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后提升作业十七抛物线方程及性质的应用(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 ( )A.1条B.2条C.3条D.0条【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.2.抛物线y2=3x关于直线y=x对
2、称的抛物线方程为 ( )A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )A.B.C.D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=
3、0,由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为 ( )A.2B.4C.6D.4【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形,
4、PF
5、=
6、PM
7、=
8、FM
9、,所以PM⊥抛物线的准线.设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),
10、PM
11、=
12、FM
13、,得1+=,得m=2,所以等边三角形的边长为4,其面积为4.5.(2015·
14、全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.
15、x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2016·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l==8.8.
16、(2016·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,则
17、MM1
18、=.
19、AB
20、≤
21、AF
22、+
23、BF
24、(F为抛物线的焦点),即
25、AF
26、+
27、BF
28、≥6,
29、AA1
30、+
31、BB1
32、≥6,2
33、MM1
34、≥6,
35、MM1
36、≥3,故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是
37、解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A. B.3 C. D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的
