2017_18学年高中数学第二章2.3.2.2抛物线方程及性质的应用课后提升训练含解析

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1、抛物线方程及性质的应用(45分钟　70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　(　　)A.　　　B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),联立得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时有解,当k≠0时,Δ≥0,解得-1≤k<0或0

2、=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是　(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,8由消去y得,3x2-4x-m=0,由Δ=0得,1

3、6+12m=0,解得m=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.4.已知正三角形AOB的一个顶点O是坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积等于4,则抛物线的方程是　(　　)A.y2=xB.y2=xC.y2=4xD.y2=8x【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),由于△AOB为正三角形,所以=,所以xA=yA,又S△AOB=×(2yA)·xA=4,所以xA=2,yA=2,代入方程得y2=x.5.(2015·全国卷Ⅰ

4、)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=　(　　)A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,8将x=-2代入到+=1,解得y=±3,可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的

5、准线方程为　(　　)A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2017·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为　(　　)A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4

6、,x1x2=-4,所以弦长l==8.8.(2017·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为　(　　)A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,则

7、MM1

8、=.

9、AB

10、≤

11、AF

12、+

13、BF

14、(F为抛物线的焦点),8即

15、AF

16、+

17、BF

18、≥6,

19、AA1

20、+

21、BB1

22、≥6,2

23、MM1

24、≥6,

25、MM1

26、≥3,故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用　　与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与

27、抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为　(　　)A.　　B.3　　C.　　D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的

28、最小值等于=.二、填空题(每小题5分,