高中数学2.3.1变量间的相互关系素材新人教B版必修3

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1、2.3变量间的相关关系［学习目标导航］学习提示1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程是重点.难点是对最小二乘法的理解.［教材优化全析］全析提示相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而

2、相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种

3、关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.例如，施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现的不是很真切，需要对数据进行分析.我

4、们可以作统计图、表，以便对两者有一个直观的印象和判断.散点图是研究相关关系最常用的一种统计图.相关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础.我们把表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图.上例的散点图如图2－3－1.若要考察变量（随机变量）a与（非随机变量）b的相关性，则b为因变量，a为自变量.画散点图时，自变量（随机变量）在x轴上，因变量（非随机变量）在y轴上.图2－3－1从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，可见散点图能形象地反映各对数据的密切程度.了解相关变量的正负相关性在我们的生活生产中有着重要的实际意义.从散点图可以看出因变量随自变量

5、的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作正相关.若因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域.进一步观察，发现图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近.如图2－3－2.图2－3－2当运用直线近似表示施化肥量与水稻产量的关系时，学生可能选择能反映直线变化的两个点，例如（15，330），（45，455）确定一条直线；也可能取一条直线，使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同；还可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距.但这些

6、方法缺乏理论支持，不可靠.如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系.这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程.上例的回归直线方程是=4.75x+256.79.如何求回归直线方程呢?（1）求回归直线方程的思想方法实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”.观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近.类似图中的直线可画出不止一条.那么，其中的哪一条直线最能代表变量x与y之间的关系呢?引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征即直线与n个点的偏差的

7、平方和最小，其过程简要分析如下：在学习回归方程的内容时，同学们可以积极探索用多种方法确定线性回归直线.在此基础上，去体会、理解最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程.感兴趣的话，可尝试推导线性回归方程.设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数.则i=bxi+a（i=1，2，…，n）.于是得到各个偏差yi－i=yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n）.显见，偏差yi－i的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－