论文求极限的方法(郝晓静)

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1、求极限的方法郝小静山东博兴滨州技师学院256500摘要：本文系统地介绍了利用两个重耍极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言高等数学是以函数为研究对彖，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程屮占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及具应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数

2、学的基木运算。木文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。二具体方法1•利用函数极限的四则运算法则来求极限定理讥若极限］im/⑴和limg（兀）都存在，则函数/⑴士g（x）,/⑴当x—>x0时也存在且①lim"（x）土g⑴］=lim/w±linu⑴②liml/W•gS）］=lim/W•limx->x0又若linu（兀）工°XT%x->兀0时也存在，且有limXT.q,g（x）lim/WXfY°limg（x）利用极限的四则运算法则求极限，条件是侮项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如&彳等情况，都不能直接用四则运

3、算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母屮的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求lim=—■>2-X/解：原式二Hm62匕+2）=]jm（兀+2）=oxt2-X—L1•用两个重要的极限来求函数的极限①利用lim曲"来求极限XT（）兀lim沁i的扩展形汕xtOX令g（兀）T0,当XT兀（）或XT8时，则有lim彎或XT8g(x)例2：limsinx71-X解：令t-7i-x•则sinx=sin(^-t)=sint,且当xm时/tOWr“sinx“sinr(如lim-—=hm丁ix—>zr兀X/->

4、()J例3：求X—1解：原式=limS也J》=limG+1)・sink12-1)_2A->lXTIx2-l②利川lim。+丄）=0来求极限XJVT0O

5、丄x-»ooGT()lim（i+—）=£的另一种形式为lim（i+Q严之•事实上，令x->oo兀a—>0例4：求lim(i+2%);的极限x->011"解：原式二lim(l+2x)/(l+2x)2：=e2A->0利用这两个重要极限來求苗数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法來求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。1•利用等价

6、无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即lim^=1•称/(%)与gw是xt兀。时的等价无穷wg(x)小量，记作f(x)~g(x).(XTx0)・定理2冬设函数f(x)9g(x),h(x)在心0)内有定义,且有fM〜g(x).(x->x0)①若lim/(x)g(x)=人则limg(x)"(x)=人②若卿需“则旦证明:①lim=lim芳•lim=i^=AXf丫0Xf勺Jl兀丿Xf丫0①可类似证明，在此就不在详细证明了！由该泄理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5：求limtan^snrv的极限xtosin匕sinx解：由tanx-

7、sinx=(1一cosx)•而sinx〜x,(x—>0)；cosx兀2I-cosx，(x—>0)；sinx3-x3〜，，(x—>0).2故有lim大一>0tanx-sinxsinx二limxtOcosxx2%•-X3注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的■等价无穷小量，如：由于lim竺兰i，故有sin%~兀，（兀->0）.又由于xtOX—=1’故有arctanx~兀，(x—>0)・x->0x4.利迫敛性來求极限定理3③：设Jimf(x)=Hmg(x)=A,且在某"(兀00)内有f(x)

8、r->x0则limh(x)二a例6：解：求linvIT的极限且lim(i—x)“XT(厂由迫敛性知做此类型题冃的关键在于找出大于已知曲数的凶数和小于已知函数的函数，并H所找出的两个函数必须耍收敛于同一•个极限。5•利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数/（X）在心点连续，则lim/（x）=/（兀°）及若lim0（x）=Q，且f（u）在点a连续,则XT%XT%XTX。_X->X0l-COSX例7：求[me2~2的极限A->0由于lim才一>0=4及函数如•在T处连续，故i-cosxijmZe2arcsine2—a-»o

9、2arcsinQ=^4•利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述屮，我们已经提到了利用等价无穷小量來求函数的极限，在此笔者叙述i种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷人量的比