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1、分治算法在计算机科学中，分治法是-•种很重要的算法。字而上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最麻子问题可以简单的肓接求解，原问题的解即了问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅立叶变换（快速傅立叶变换）……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模冇关。问题的规模越小，越容易肓接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时，问题
2、就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破，分而治之。分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则肓接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些了问题，然后将各了问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。如果原问题可分割成k个了问题，l〈kWn,且这些了问题都可解并可利用这些了问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产牛的子问题往往是原问题的
3、较小模式，这就为便用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一•致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易肓•接求出其解。这自然导致递归过程的产主。分治与递归像一对学生兄弟，经常同时应用在算法设计之屮，并由此产生许多高效算法。分治法所能解决的问题一般具有以下儿个特征：1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2）该问题可以分解为若干个规模较小的和同问题，即该问题具有最优子结构性质。3）利用该问题分解出的子问题的解对以合并为该问题的解：4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。上述的第一条特征是
4、绝人多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是人多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；笫三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否貝-有笫三条特征，如果具备了第一条和笫二条特征，而不具备笫三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各了问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但-•般用动态规划法较好。分治法的基木步骤分治法在每一层递归上都冇三个步骤：分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问
5、题；解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。它的一般的算法设计模式如下：Divide-and-Conquer(P)1.if
6、P
7、WnO2.thenreturn(ADHOC(P))3.将P分解为较小的子问题Pl,P2,..・，Pk4.fori—1tok5.doyi—Divide-and-Conquer(Pi)△递归解决Pi6.T—MERGE(yl,y2,...,yk)△合并子问题7.return(T)其中表示问题P的规模；nO为一阈值，表示当问题P的规模不超过nO时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHO
8、C(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过nO时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(yl,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题Pl,P2,…，Pk的相应的解yl,y2,…，yk合并为P的解。分治法的复杂性分析一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值nO二1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及川merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为
9、P
10、=n的问题所需的计算时间,则有：
11、通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幕时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幕时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当miWn〈mi+l时，T(mi)WT(n)〈T(mi+l)。动态规划算法最优化原理1951年美国数学家R.Bellman等人，根据一类多阶段问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。一些静态模型，只要人为地引进“时间”因素，分成时段，就对以转化成多阶段的动态模型，用动态规划方法去
