直线的“到角”“夹角”公式应用剖析和三角形五心

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1、直线的“到角”“夹角”公式应用剖析到角公式：直线h到12的角a，即直线h绕着与12的交点逆时针方向旋转到同12重合时所转过的最小的正角,tana二(其中山，k?是直线1),12的斜率，下同).1+£］人夹角公式：直线h与12的夹角B,即直线h与12相交所成的四个角中最小的角，tan/?=

2、-^—^

3、.1+味2当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程，耍求另外一条直线的方程时，常常利用这两类角来处理.如果所求直线不唯一，就利用夹角公式；如果所求直线唯一，就利用到角公式；解答这类问题吋，一定要注

4、意结合图形，分析结果的可能个数，再决定取舍.同时还要注意考虑斜率不存在的情况.求这腰所在直线13代例1等腰三角形一腰所在直线h：x-2y-2=0,底边所在直线12：x+y-l=O,点(・2,0)在另一腰上,的方程.解析I到角公式.设直线b的斜率为k"十的斜率分别为k—,ki由题意知12到h的角Q等于h到12的角0,即tana二任_心1+冰2入解得k.3=2.所以直线13的方程为2x・y+4二0.解析2夹角公式.设直线13的斜率为k3,h，b的斜率分别为罔，k2=-l.k—kk—kI由题意知円的夹

5、角等于円2的夹角削址解铢二或k3=2.当k3=1时13平行于h，不满足题意，舍去.故直线13的方程为2x-y+4=o.例2求直线x-y-2=0关于直线x+2y+l=0对称的直线方程.解析1到角公式.直线h：x-y-2=0的斜率k】=l,直线1：x+2y+l=0的斜率k=--,1+也设对称直线I2的斜率为k2,则由于直线h到直线1的角等于直线1到直线I2的角，即代入得k2=7.由x-y-2=0,x+2y+l=0解得x=l,y=-l,即直线h与直线1的的交点为(1,・1),直线b也经过它.从而对称直

6、线D的方程为7x-y-8=0o解析2夹角公式.直线1

7、：x-y-2=0的斜率k1=l,直线1：x+2y+l=0的斜率k=-一，设对称直线12的斜率为k2,则k-kk-k由于直线h与直线I的夹角等于直线】与直线匕的夹角，即I话冃认I,代入得心或k日其屮g吋直线l2//lh不符合题意，舍去.例3直线1过点(1,0)且被两条平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,求直线1的方程.解析1到角公式.设直线1与两条平行直线分别相交于A、B,由A作另一条平行线的垂线，垂足为M,则

8、AM

9、

10、等于两条平行线之间的距离，即

11、AM

12、=V1010设ZABM=a，AM则sinaAB910从而F114tana二—•而a可以看作是直线BM到直线1的角，BPtan6T=—解得k=一一・4x+3y・4=0•故直线1的31—3£33方程为4x+3y-4=0或x=l.解析2夹角公式.直线1与直线BM的夹角为ci,则tana=

13、士土3

14、=丄，解得k=-~.还有一条斜率不存在，l-3k33必然是X二1.三角形五心及其性质延伸的圆心。1・内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切角平分线性质:到角两边距

15、离相等•内心性质：到三角形三边距离相等。延伸：①内角平分线定理ADRD卜左下左如图，AD为△a^ZZMC的平分线，则有疋=庞（百二雋）②外角平分线定理如图，AD为AaEC的外角平分线，交BC延长线于D,则有也=型（同上）ACDC③三角形内角平分线长公式如图，ad为ZXabc中ABAC的平分线，则有AD=2bccos-2b+c（或2cos-211—+-bc④内心到三边距离r（三角形内切圆半径）设三角形面积为S,则有尸』^（即面积的2倍除以周长）a+b+cFFD2.重心:三角形三条中线交点屮线性质:

16、将三角形面积等分成两部分.重心性质：分三角形的中线两段长比例为2:1（长:短）如图:AD,BE,CF为2XABC三条中线,G为其重心,则有AG:GC=BG:GE=CG:GF=2:1延伸:三角形中线长公式如图,AD为Aabc的中线，则有AD=—Vb2+c2+2bccosA2A3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。垂直平分线性质：到线段两端点距离相等。外心性质：到三角形三个顶点距离相等。内心到三顶点距离R（三角形外接圆半径）R二嚴（某边除以它对角正弦的2倍）延伸①:正弦定理cchc

17、i由于R二——，同理易证R=——=——=——，变形得到2sinC2sinC2sinB2sinACcihc正弦定理：二二二2R(每边除以它所对角的正弦为2R)sinAsinBsinC延伸②:余弦定理,222a2=b2+c2-2/?ccosA(cosA=?)2hcMAP4•旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。