最优策略例题——飞机与防空火炮

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1、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有4门防空高炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则表示红方攻击成功。其中共有四个区域1,11,III,IV去接近目标，蓝方可在上述区域内任意设置高炮，但一门炮只能防卫一个区域，且只能击落一架飞机,其射中概率为1。问双方各应采取什么策略？二、问题假设：1、红方和蓝方在决策Z前都不知道对方确切的策略，但可以猜测对方可能的决策；2、蓝方只有5种分配方式，但当蓝方把3门或4门炮放在一个区域的话炮的个数将大红方飞机的个数，显然这种方法是不可収的，所以这里只考虑

2、3中分配方式；3、红方只有两种非配方案，即两架飞机进攻同一个区域或一架飞机选择一个区域进攻,共进攻两个区域；4、假设蓝方的人炮必须全部用完，红方的飞机全部用完；5、双方同吋做出策略。三、问题分析：红方和蓝方若不考虑区域，则红方有两种策略，蓝方有三种策略。表I红方与蓝方的决策行动及其产生的结果红方蓝方2架一起两架分开四个1分配1.()().0()211分配0.750.5022分配0.500.83其中数值表示红方的胜率四、模型建立参与博弈的双方用N二{1,2}表示，其中1为红方，2为蓝方蓝方可能的策略记为al,红方可能的策略记为

3、a2。蓝方可能的决策行动记作alWA1二{1,2,3},其中分别表示的策略为四个区域都分配1门防空炮、一个区域分配2门防空炮剩下两门防空炮各分配与其它任意两个区域，两个区域分配2门防空炮；红方可能的决策行动记作a2EA2={1,2},中分别表示的策略为2架一起进攻同一个区域、两架分开各攻击任意两个区域。对于双方每一种的决策(al,a2),令“=pi.000.00^0.75().50().50().83故红方的效用函数为ul(al,a2),贏得矩阵必；丿故蓝方的效用函数为u2(al,a2),赢得矩阵为E-M；"o.oo1.()

4、(厂E-M=0.250.500.500.17用(al*,边*)表示红方和蓝方的实际决策行动。在博弈的双方都力求通过决策行动使己方的效用函数最大化，即纯纳什均衡，则应：ul(al*,a2*)Nul(al,a2*);u2(a1*,a2*)Nu2(a1*,a2);明显，双方都随机的采取行动，即双方都会某一决策行动赋了一•定的概率，形成混合策略，所以可判断不存在纯纳什均衡・。因此需建立一个混合策略博弈模型：设蓝方釆取行动i的概率为pi(i=1,2,3),红方采取行动j的概率为qjO=1,2),则蓝方与红方策略集分别为：S1={p=(

5、p1,p2,p3)0

6、=lanfang;@for(n(j):lanfang<@sum(k(i):p(i)*m(i,j)););©sum(k:p)=l;Endmodel:sets:k/l..3/:p;n/1.•2/:q;pay(k,n):M;endsetsdata:M=1.000.000.750.500.500.83;enddatamax=hongfang;©for(k(i):hongfang<@sum(n(j):q(j)*m(i,j)););@sum(n:q)=l;End0.37593980.000000VariableLANFANGP(1)P(

7、2)P(3)Q(1)Q(2)Value0.37593980.24812030.0000000.75187970.0000000.000000ReducedCost0.0000000.0000000.3195489E-010.0000000.0000000.000000Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:Infeasibilities:Totalsolveriterations:Globaloptimalsolutionfound.0.62406020.000000Objecti

8、vevalue:Infeasibilities:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostHONGFANG0.62406020.000000P(1)0.0000000.000000P(2)0.0000000.000000P(3)0.0000