完全平方公式的变形运用综合提高讲解

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1、完全平方公式的运用综合讲解完全平方公式的原型是(a±b)2=a2+2ab+b2.^们在充分理解它的基础上，还要熟悉它的变形式：①cC+=(d+by—2ab=(a-b)2+2ab②(a+b)2+(q-Z?)2=2(/+b‘)(3)(a-hb)2-(a-b)2=4cib完全平方公式的运用是灵活多变的，在很多的中考题里都会有不同的形式出现，我们要充分理解和灵活运用•理解是运用的前提，运用是理解的升华.下面笔者举例谈谈完全平方公式的运用.一、完全平方公式中系数的运用例1••如果多项式才+也+4是一个完全平方式，则比的值是多少？分析这里是首末两项是x和2的平

2、方，那么中间项就为加上或减去兀和2的乘积的2倍.解QF+^+4是一个完全平方式，・•・Ax=+2x2gr/.k=±4注本题大部分学生都只会求出一个答案4,缺少-4.问题在哪里呢?第一，被处项的符号迷•惑;其二没有真正理解完全•平方公式的结构特征，完全平方项的符号相同，积的2倍项与符号无关•这道题如果改成多项式x2-kx+4是一个完全平方式，求幻的值;出错的学生会更多，他们往往被这个负号带入了死胡同；关键在于没有充分理解公式的特征:在木题的结构下，任意给出其屮两项，未知的第三项均可以求岀，要注意积的2倍的符号，有两种情况，不可漏解.如，若+_巧+4加

3、是一个完全平方式，求加的值，就可以运用同样的方法求解.二、完全平方公式在求值中的运用例2已知。a■—=一3.求：a21(1)a+r；a(2)(a--)2的值a分析要求出结论，只要求出Q的值即可，但是这样做很复杂，联想到完全平方公式及倒数的相关知识，就可以顺利解答此题；解（1）Q/+A=（g+丄）2_2cra1991（2）Q（6Z—）2=6Z2+—-2acr19/.（a——）2=1-2=5a注很多学生缺乏整体意识和适当的变形，对互为倒数的两数之枳为1的性质掌握不够,而若运用解一元二次方程的方法，试图通过求Q的值来求解，必然带来很大的麻烦三、将条件及结

4、论变形，再运用完全平方公式求值例3已知x2-3x+1=0,求~5—的值.分析由条件变形为:兀+丄=3,由结论变形为———,再由完全平方公式变形为*F+4+i——:,就可以求出结论.（兀+丄）2+1解Qf—3x+1=0,Q/w+ii_iX2+A-+1（x+丄严一2+1•••原式二亍寸注解答木题时，很多学生会走最熟悉的路径，即解一元二次方程，运用求兀的值来求并3r—1解，但计算比教复杂;也有学生由x2=3x-1,代入一,就可以得岀亠丄，化x4+x2+l24x-8简得出结论;实际运用倒数法，结合完全平方公式求解，显得比较简单.四、完全平方公式在因式分解及

5、求位中的运用例4已知a+b=l,求一a2+ab^-—b2的值.22分析本题要求代数式的值，先求出0、b的值是很难的，而运用完全平方公式，将结19论变形为一（d+Z?）2,就可以轻松求出结果.解Q丄/+〃+丄/=丄（/+2"+戻）=丄（°+b）22222原式=—xl2=—.22注也有学生对条件变形求解:Qa+b=l,・・・Q=l—b,再代入丄/+“+丄戾，就可22以得到丄(1-/7)2+/?(1-/7)+丄方2,即可求出结果.但是这样做比较复杂，不是命题者的初衷.22五、完全平方公式在求差法中的运用例5已知0、b、c是ABC的三边，试比较a2-b2

6、-c2和2处的大小.分析要比较大小运用两式子相减，然后再因式分解，判定符号后即可得到两式的大小.解(^a2-b2-c2-2bc=a2-(b+c)2,g~~b~—c~—2bc=(a—b—c)(tz+b+c).Qab、c是ABC的三边，・・・d-Z?-cv0,a+Z?+c>0,・•・(a-b-c)(a+/?+c)<0,a~—b~——2bcv0,••・a2-b2-c2<2bc.注本题考查了因式分解、三角形的三边关系及平方差和完全平方公式的运用.作差、因式分解及分组构造完全平方公式是解题的关键.六、拆项构造完全平方公式在非负数中的运用例6•若。2+员—40

7、—2/7+5=0,求密+b的值.41a-b分析求代数式的值，求出b的值是关键，一个等式两个未知数，就联想到构造完全平方公式再利用非负数求解.解Q/+-4ci—2b+5=0,-4a+4+-2b+1=0,(cz—2)~+(/?—1)~—0,”1=0••严2]b=故原式=—；=—=3.V4-1注本题考查了非负数性质的运用，拆项法构造完全平方公式的运用，解答时将常数5拆成4和1是难点.七、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用例7已知a、b、c是ABC的三边，满足a2-l6b2-c2+6ab-^l0bc=0,求证:d+c=2b.分析将-16,拆分成9

8、,和-25b2,再构成两个完全平•方公式，由等式的性质就可以求出结论.证明Q«2-16Z?2-c2+6db+10"c=0/