欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:44592401
大小:234.01 KB
页数:7页
时间:2019-10-23
《2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.5.1二项式定理讲义苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.5.1 二项式定理学习目标核心素养1.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.(重点)2.利用二项展开式求特定项或项的系数.(难点)3.二项式系数与项的系数的区别与联系.(易混点)1.借助二项式定理的证明,提升逻辑推理素养.2.通过一般性运算,发展数学运算素养.1.二项式定理(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理.2.二项展开式的通项和二项式系数(1)(a+b)n展开式共有n+1项,其中Can-rbr叫做二项展开式的第r+1项(也称通项),用Tr+1表示,即Tr+1=Can-
2、rbr.(2)C(r=0,1,2,…,n)叫做第r+1项的二项式系数.1.(x+1)n的展开式共有11项,则n等于( )A.9B.10C.11D.12B [(x+1)n的展开式共有n+1项,所以n+1=11,所以n=10.]2.在(x-)10的展开式中,含x6的项的系数是( )A.-27CB.27CC.-9CD.9CD [含x6的项是T5=Cx6(-)4=9Cx6.]3.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为________,第3项的二项式系数为________.40 10 [(1+2x)5的展开式的第3项的系数为C22=40,第3项的二项式系数为C=10.]二项式定理的正
3、用、逆用【例1】 (1)用二项式定理展开5;(2)化简:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC.[思路探究] (1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.[解] (1)5=C(2x)5+C(2x)4·+…+C5=32x5-120x2+-+-.(2)原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.1.展开二项式可以
4、按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.1.(1)求4的展开式;(2)化简:1+2C+4C+…+2nC.[解] (1)法一:4=C(3)4+C(3)3·+C(3)2·2+C(3)3+C4=81x2+108x+54++.法二:4==(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54++.(2)原式=1+2C+22C+…+2nC=
5、(1+2)n=3n.二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求9的展开式中x3的系数.[思路探究] 利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解.[解] (1)由已知得二项展开式的通项为Tr+1=C(2)6-r·r=(-1)rC·26-r·xr,∴T6=-12·x.∴第6项的二项式系数为C=6,第6项的系数为C·(-1)·2=-12.(2)Tr+1=Cx9-r·r=(-1)r·C·x9-2r,∴9-2r=3,∴r=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C=-84.1.二项式系数都是组
6、合数C(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4=C17-3(2x)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C23=280.2.(1+2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解] T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,依题意有C25=C26⇒n=8.∴(1+2x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=
7、1120x4.设第k+1项系数最大,则有∴5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.求展开式中的特定项[探究问题]1.如何求4展开式中的常数项.[提示] 利用二项展开式的通项Cx4-r·=Cx4-2r求解,令4-2r=0,则r=2,所以4展开式中的常数项为C==6.2.(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?[提示] (a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.3
此文档下载收益归作者所有