2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.3组合讲义苏教版

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1、1.3　组合学习目标核心素养1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)1.通过对组合学习，发展数学抽象素养．2．借助组合数公式的推导及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.1．组合与组合数的概念(1)组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．思考1：组合与组合数有何区别？[提示]　从n个

2、不同元素中任意取出m(m≤n)个元素并成一组即为一个组合，一个组合就是完成事情的一种方法，而组合数是指所有组合的个数；组合可以是由任何元素组成的，而组合数是一个数字，是所有组合的个数．2．组合数公式及性质(1)组合数公式：C＝＝＝.(2)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.思考2：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．1．下列问题是组合问题的有(　　)①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；②一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动；③从5名同学中选4名组成代表

3、团去4个单位参加对外交流．A．①②　　　B．①③　　　C．②③　　　D．①②③A　[①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题．]2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．3　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]3．C＝________，C＝________.15　18　[C＝＝15，C＝C＝18.]4．方程C＝C的解为________．4或6　[由题意知或解得x＝4或6.]组合的概念【例1】　判断下列各事件

4、是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路探究]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[解]　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题

5、，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．[解]　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序

6、排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.组合数的计算与证明【例2】　(1)计算：3C－2C；(2)计算：C＋C.[思路探究]　(1)直接运用组合数公式进行计算；(2)先求出n，再按组合数公式进行运算．[解]　(1)3C－2C＝3×－2×＝148.(2)由组合数的意义可得即∴≤n≤.∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.关于组合数计算公式的选取(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝

7、计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．2．求等式＝中的n值．[解]　原方程可变形为＋1＝，C＝C，即＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．组合数性质及应用[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示]　法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C＝＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C＝＝

8、10(种)不同选法．经求解发现C＝C.推广到一般结论有C＝C.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示]　共有C＝＝2