2019_2020学年高中数学第1章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修2

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1、第1章空间几何体空间几何体的结构特征【例1】　(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是(　　)A．1B．2　　　C．3　　　D．4(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个(1)A　(2)D　[(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于

2、底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．(2)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，取四棱锥A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举

3、出一个反例即可．1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为(　　)A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4C　[将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得x2＝h.故＝.]空间几何体的表面积与体积【例2】　如图所示的三棱锥OABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2，1cm2，3cm2，求三棱锥OABC的体积．[解]　设OA，OB，OC的长依次为xcm，ycm，zcm，则由已知可得xy＝1

4、.5，xz＝1，yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.将三棱锥OABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥COAB的高．于是VOABC＝VCOAB＝S△OAB·OC＝×1.5×2＝1(cm3)．空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．2．如图①所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积．①　　　　　　

5、②[解]　连接A′B，A′C，如图②所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′ABC的体积是V.而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.与球有关的切、接问题【例3】　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为(　　)A．π　　　B．π　　　C．π　　　D．16π(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)A．96B．16C．24D．48(1)B　(2)D　[(1)如图，设PE为正四棱锥PABCD的高，则正

6、四棱锥PABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，又底面边长为4,所以AE＝2，PE＝6,所以侧棱长PA＝＝＝＝2.设球的半径为R,则PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]与

7、球相关问题的解题策略：(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．3．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．4πRr　[法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝，故球的表

8、面积为S球＝4πr＝4πRr.法二：如