求曲线方程的常用 方法

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1、求曲线方程的常用方法“由曲线求方程”是解析几何的两个核心问题之一。求曲线方程的方法比较多，但总起来说有三种：直接法、公式法和参数法。直接法是先找出动点满足的几何条件，再经过代换直接得到x、y关系的方法。它是最原始的方法，直线的点斜式方程、圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程都是用直接法得到的。公式法是把教材中推导出的一些方程作为公式使用。如：直线方程的几种形式，圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程等。使用公式法的前提是：知道曲线的类型。有时并不告诉曲线的类型，但是根据定义能够判断出曲线的类型，再利用

2、公式（有些书上称为定义法）。在使用公式时，有时可以一一求出公式中的系数，再代入公式。有时则要带着系数运算，直到最后求出系数（这就是所谓的待定系数法）。参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。本课通过对一个题目的多种解法，复习求曲线方程的常用方法

3、，并通过一题多变，让学生体验各种方法的适用条件。学会具体问题具体分析，培养学生发散思维能力和创新能力。体现新课标：1、本课注意体现数学的文化价值和社会价值，向学生渗透辩证观点（如：运动变化的观点、联系的观点、具体问题具体分析等辩证思想），培养学生的创新精神。2、注意信息技术与数学课程的整合（通过动画演示，很好地体现动点轨迹的形成过程）；3、强调协作，强调课内外结合。本课的题目先以作业的形式布置给学生，让学生用尽量多的方法解答，学生每4人结组，课下协作学习，充分研究，课上由各组代表说本组的解法，资

4、源共享，再经教师点拨，达到知识升华。4、强调数学的返蹼归真，强调知识结构。把数学的发展历史、数学的知识结构、学生的认识结构有机地统一起来。题目：过原点O作射线交圆C:x2+y2-4x=0于另一点N，ON的中点为P，当ON4绕O点转动时,求动点P的轨迹方程。方法一：（直接法）设P点坐标为（x，y），连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO。于是，化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法二：（代入法）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（）,根据中点坐标公式得，因为N在圆上，所以（x≠0），

5、化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法三：（参数法）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx，由消去y得：(1+k2)x2-4x=0，设直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则x1+x2=，于是P点横坐标x=............(1)又P点坐标满足y=kx.........（2）由（1）（2）消去k得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法四：（公式法）连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO。所以P点的轨迹是以OC为直径的圆（不包括O点）。其

6、轨迹方程为：（x≠0）。方法五：（直接法）设P点坐标为（x，y），连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO，于是

7、PO

8、2+

9、PC

10、2=

11、OC

12、2。代换得,化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法六：（直接法）设P点坐标为（x，y），连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO。作PQ⊥OC于Q，则

13、PQ

14、2=

15、OQ

16、

17、QC

18、。代换得y2=x（2-x），化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法七：（直接法）设P点坐标为（x，y），连接PC，因为P是弦ON4的中点，所以PC⊥PO。

19、于是,而，，因此x（x-2）+y2=0，化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法八：（参数法）设P点坐标为（x，y），∠POC=，因为PC⊥PO，所以

20、OP

21、=

22、OC

23、=2，于是，，P点轨迹的参数方程为，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则，，两式作差得注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y，，代入整理得：x2+y2-2x=0（x≠0）。方法十：（参数法——交轨法

24、）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx................(1)，因为PC⊥PO，所以直线PC的方程为：y=.....(2)，因为P点坐标同时满足（1）、（2），消去k得：x2+y2-2x=0（x≠0）。4六、作业1、用多种方法解答变化一和变化二，研究变化三。变化一：（变化圆心和转动点）过点A（2，2）作直线交圆C：于M、N两点，求MN中点P的轨迹方程。答案。x2+y2-6x+4=0，即：变化二：（变化曲线类型）过点A（0，2）作直线交椭圆于M、N两点，求MN中点P的轨