求曲线方程的常用方法

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1、求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法．例1　如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x

2、＋1)2＋y2＝4a2(a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围．解　(1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，∴

3、NA

4、＝

5、NM

6、.∴

7、NC

8、＋

9、NA

10、＝

11、NC

12、＋

13、NM

14、＝

15、CM

16、＝2a>2，∴N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(

17、2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)，∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，∴　消去x得y＝.∵离心率e∈，∴≤e2≤，即≤≤.∴≤a2≤4.∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”

18、五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2　已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程．解　如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，则d＋132＝r2，d＋122＝r2，∴d－d＝25，即2－2＝25，化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.点评　若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直

19、接转化成含有动点坐标x，y的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3　已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．解　椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以

20、OF

21、＝c，

22、AF

23、＝＝＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系

24、，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．例4　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．分析　设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解　设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，∵点P是线段QN的中点，∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，即x0＋y0＝2x＋2y－2.①又QN⊥l，∴kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②由①

25、②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．又∵点Q在双曲线上，∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.化简，得2－2＝.∴线段QN的中点P的轨迹方程为2－2＝.点评　本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这

26、个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5　已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．解　如图，设OP的斜率为k，则P(2,2k)．当k≠0时，直线l的方程：y＝－