[精品]金融数学论文

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1、・背景金融数学，又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。它的研究对象是金融市场上风险资产的交易，其廿的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征，从而达到对具有潜在风险的各种未定权益的合理定价和选择规避风险的最优策略。它的历史最早可以追朔到1900年，法国数学家巴歇里埃的博士论文“投机的理论”。该文中，巴歇里埃首次使用Brown运动來描述股票价格的变化，这为后来金融学的发展，特别是为现代期权定价理论奠定了理论基础。不过他的工作并没冇得到金融数学界的重视。宜到1952年马科维茨的博

2、士论文《投资组合选择》提出了均值——方差的模型，建立了证券投资组合理论，从此奠定了金融学的数学理论基础。在马科维茨工作的基础上，1973年布莱克与斯科尔斯得到了著名的期权定价公式，并赢得了1997念得诺贝尔经济学奖。它对于一个重要的实际问题提供了令人满意的答案，即为欧式看涨期权寻求公平的价格。后两次发现推动了数学研究对金融的发展，逐渐形成了一门新兴的交叉学科，金融数学。二.几个问题的理解在本学期的金融数学课程当屮，我们学习了二叉树无套利定价模型、条件期望、鞅过程、马尔科夫过程、风险屮性定价与概率测度等知识。下面就某些问题给岀我的理解。（一

3、）鞅理论鞅理论的引入是现代金融理论最新的研究成果。1977年，哈里森和柯瑞普斯捉出了期权定价理论的鞅方法，他们用鞅论屮的鞅测度概念来刻闹无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。他们证明了市场无套利的重要条件是等价鞅测度存在，市场完备的重耍条件是等价鞅测度存在且唯一。在市场是有效的假定下,证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。他们利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融由场的运行规律，而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。鞅表达了对未来股价贴现值的

4、最好估计就是当前股价，这符合有效由场和完全由场的假设。有效由场要求当前价格反应了所有由场信息，因此，未来的信息不会对当前股价产生影响，其价格过程应该是个适应过程，适应是随机过程能够使用的基本条件；另外有效市场要求投资者个体行为不应对价格产生影响，因此这时的价格是合理价格，而合理的价格不应该有套利机会，如果当前价值不等于未来现金流的贴现，比如大于未来现金流，在完全市场下，我们可以通过较低的财富构建组合，复制股票未来的现金流，获得套利；反之同样可以构造套利策略。因此在风险中性测度下，股价的贴现过程是一个鞅，投资于股票和货币由场账户的任何资产组

5、合的贴现价格都是鞅。在真实概率测度下，股票价格是一个下鞅，因为事实上其平均增长速度应该高于货币市场以补偿投资者的内在风险。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论屮占主导地位,但在国内还是一个空白。（-）马尔科夫性马尔科夫性就是过程（或系统）在时刻t所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t所处状态的条件分布与过程在时刻t之前所处的状态无关。通俗的说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”

6、。在冇效市场下，股票应该满足马氏性，因为有效市场假设当前价格已经反映了所有市场信息，即所冇丿力史信息和新发布的市场信息都已经反映在当前价格上，研究历史价格对未来的预测不会有帮助，自然对未来价格的估计只依赖当前的信息。股票价格的马尔科夫性保证了该衍生证券的价格过程不是路径依赖的。马尔可夫性的存在大大缩减了我们需要处理的信息量，为了预测未来，我们只需要直到今天的数据，而不用存储繁杂的丿力史数据。冇限个马尔科夫过程的整体称为马尔科夫链,它可以看作在时间集上对状态过程相继观察的结果。马尔科夫链的运动变化分析，主要是分析研究链内有限马尔科夫过程的状

7、态及相互关系，进而预测链的未来状况。马尔科夫预测法是根据事件的口前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。常用于对地理、天气、市场的预测。（三）最优停时理论最优停时理论是概率论体系中一个具有很强的实用性领域，近年来，不少金融学家和金融数学家将这一理论与现代的投资组合理论相结合，取得了不错的成绩。如果我们把停时定义为做某件事情的时间，则停时的定义表明我们要不要在t时刻做这件事取决于t时刻及Z前我们所能获得信息。从这个意义上看，停时可以有很多应用：买入股票的时间；卖出股票的时间；一支股票被ST的时间；公司发生违约的时间。在违约

8、停时的应用屮，我们通过给出违约风险的结构模型中对违约时间的定义以及它与停时的关系，学习了两种信用风险模型：MeHon（1973）和首屮时模型（Black&Cox（1976））在二叉树模型屮违约