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1、分类号编号2012010119题目凸函数及其在不等式证明中的应用学院数学与统计学院姓名王红娟专业数学与应用数学学号281010119研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交H期2012年5月原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担・论文作者签名：年月日论文指导教师签名:凸函数及其在不
2、等式证明中的应用王红妲(天水师范学院数学与统计学院
3、「肃天水741000)摘要：凸函数是一类兎要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词:凸函数；性质；不等式；Jensen不等式ConvexFunctionanditsApplicationintheproofInequalityWangHong-juan(TianshuiNormalUniversity,AcademicofMathematicsa
4、ndStatistics,Tianshui741000,China)AbstractConvexFunctionisakindofimportantFunction,ithasafar-rangingapplicationinalotofmathematicalproblems.Thepaperrelatedandanalyzedthedefinition,property,anddiscriminantmethodoftheconvexFunction.Atthesametime,thethemeta
5、lkedabouttheConvexFunction'simportantintheproofInequalityandpopularizedabouttheConvexFunction.KeyWordsConvexFunction;property;Inequality;JensenInequality目录题冃：凸函数及其在不等式证明中的应用1摘要1关键词1引言11凸函数的定义、性质及判定定理11.1凸函数的定义11.2凸函数的几种等价定义21.3凸函数的性质及定理32关于凸函数的四个不等式42.1J
6、ensen不等工弋142.2Jensen不等式242.3Holder不等式152.4Holder不等式263凸函数在不等式证明屮的应用73.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式73.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式93.3凸函数在积分不等式中的应用104凸函数的推广114.1凸函数的定义推广114.2凸函数的性质及定理推广12421凸函数的性质推广124.2.2凸函数的定理推广13结束语14参考文献15致谢16凸函数及其在不等式证明中的应用王红妲(天水师院数学与统计学院甘肃天
7、水741000)摘要：凸函数是一类重耍的函数，在数学许多问题屮都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词：凸函数;性质;不等式;Jensen不等式1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数例如在数学分析、函数论泛函分析、最优化理论等当中•大家都熟悉函数/(x)=x2的图像，它的特点是：曲线y=x2上任意两点间的弧线总在这两点连线之下，我们可以下这样一个定义:设/(x)在[。,列上有定义若冊线y=/(x)±任意两
8、点间的弧线总位于直线的Z下，则称函数/(切是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于函数的应用，用严格的分式来定义是非常必要的.1•凸函数的定义、性质及判定定理1.1凸函数的定义设函数/(x)在区间@,方)上有定义，若对(d,b)上任意两点西，兀2和正数朕(0,1),总有/[Axi+(1-2)x2]<2/(x1)4-(1-/L)/(x2),(1)则子⑴为区间[a,b].上的凸函数.若不等式⑴中的不等号改为严格不等号，则称/(兀)为@,方)内的严格不等式.常见的凸函数有：(i)f(x)=xk(k<0或
9、k>l),/(x)=xlnx均为(0,+oo)内的严格凸函数（ii）/（x）=ln（l+ev）,/（x）=Vc2+x2（c工0）均为（0,+s）内的严格凸函数1.2凸函数的几种等价定义设函数/（X）在区间⑺上）上有定义，⑴对冷•E（a,b）及切>0.i=l,2,…,几£门=1,恒有.f（£piX）s£pJ（xJi-ii=ii-i（2）对任意西爛有仏b）三/（州）+/（兀2）（3）对任意XpX,X2W（Q,b）,X］＜兀＜兀2,恒有/（兀）一
