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1、数学建模论文姓名：王琳琳班级：软件101辅导老师:霍振宏学号:201001014110数学建模之淋雨量问题摘要当大雨来临时，人们总是习惯丁•拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验乂让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想的呢？木文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况岀发对不同条件下速度和淋雨量关系做岀分析探究。动态模型速度选择淋雨量跑速1•问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m(颈部
2、以下)，宽b=O.5m,厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：(1)不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。(2)雨从迎而吹来，雨线与跑步方向在同一平而内，且与人体的夹角为x,如图一,建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d>u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算x=0,x=30吋的总淋雨量(3)雨从背面吹來，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为y,如图2,建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c>d
3、^u>w、yZ间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算y=30时的总淋雨量。(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)进行作图，并解释结果的实际意义。（5）若用线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。2•问题的分析在我们的日常生活中，下雨天气是不可避免的，当我们遇到此类的天气且身上没有携带避雨的雨具时，是否快跑就会减少身上的淋雨量呢？就此问题我们做一个模型假设杳探我们的问题。总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量Z和。每个面上的淋雨量等于单位面积，单-位吋间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。再由速度分
4、解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得岀最优解。当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出南线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m,跑步的最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h（1）雨速为常数且方向不变；（2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体；（3）人体跑步速度不受其他因素影响；（4）降雨量在一定吋期内为定值。3.2符号说明a人体身高b人体宽度c人体厚度d跑
5、步距离p跑步最大速度VmU雨速co降雨量V跑步速度e同一平而内，雨从迎而吹来，雨线与人体夹角&同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角t全过程所花费的时间S面积Q淋雨量5不同平而内，雨线与跑步方向的夹角0雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角3.模型的建立与求解4.1模型建立：模型一：(1)题屮所述不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，此吋的雨速也是均匀下落，由假设人体为长方体可知，该人体的表面积s=2ab+2ac+bc,因为跑步距离d=1000m,所以该人在雨中的淋雨时间t=d/vm,在该时间内的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s所以，总淋雨量Q=
6、s*t*w模型二：(2)《1》当雨迎面吹來时该人只冇头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1,由图一可知淋雨而积si二be,淋雨的时间tl=d/v,淋雨量(降雨方向与雨速方向应在一条线上)为w*cosx,由此可知淋雨总量Ql=sl*tl*w*cosx《2》由图一可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx(方向与v相反)，设定参照物后水平方向上的合成速度为u*sinx+v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的吋间t2=d/v,淋雨量为w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量),迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u由此可以得到该人在单位时间
7、和单位面积内的总淋南量Q=Ql+Q2=(0.01cosx)/(18*v)4-f0.075*(4sinx+v)]/(18*v)模型三：(3)当雨从背面吹來，雨线方向与跑步方向一致时，设定参照物后人参考速度Iu*siny-v
8、,当u*siny-v>0时,即雨速在水平上的分量大于人的速度,此时在水平方向上的合成速度是v-u*siny,此时的人的淋雨总量可分为两部分：头顶部分Q3和背面部分Q4,；《1》头顶部淋雨量为Q3,由图二可知淋雨面积sl=bc,淋雨的时间t3=d/v,淋雨量(降雨方向与雨速方向应在一条线上)为w*cosx,由此可知该人在单位时间和单位
