浅谈实变函数

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1、现代分析基础课程论文姓名：吴禹均学号：116110001115学院：自动化学院指导教师：姚洪亮日期：2016年12月一.前言为了能够使我们更快地从木科牛的基础过渡到研究牛的水平，在研一的上半学期学校为我们开设了现代分析基础的课程，本学期是由姚洪亮老师为我们讲授实变函数的有关知识。通过姚洪亮老师为期10周的讲解加上自身对本课程的学习，拓宽了我的知识面，并为今后的学习打下了牢固的基础。以实数作为自变量的实变函数与数学分析是紧密相连的，实变函数也是泛函分析的基础，而泛函分析与我们控制专业的联系是千丝万缕的。本学期所学习的实变函数论的内容主要包括集合与点集、Lebesgue测度、可测函数、Lebes

2、gue积分、Lebesgue空间和微分与不等式等。下面我将谈谈学习完这些主要知识后带给我的一些感受。二、认识实变函数实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。因此课程最开始先接触到的就是集合与点集的有关知识。点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。因

3、此，在课程的第二部分，姚老师就为我们引入了测度的概念。简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国数学家Lebesgue提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生Lebesgue后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“Lebesgue测度”、“Lebesgue积分”的概念。Lebesgue还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就

4、完全解决了黎曼可积性的问题。Lebesgue积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴Z间的面积。Lebesgue积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生，很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。Lebesgue积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不

5、是绝对收敛的。从这些就可以看出，Lebesgue积分比起由柯西给出后来乂由黎曼发扬的积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里乂出现了逼近论的理论。举例来说，如果能把A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。如果已经掌握了B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数來逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。和逼近理论密切

6、相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类己知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。以实变函数作为研究对彖的数学分支就叫做实变函数论。总Z,实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。三、Lebesgue积分与Riemann积分的比较对于定义在［a,b］上的函数f,如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分吋

7、，已经熟悉了黎曼积分。对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求｛EQ是单调增加的可测集合列，其并为E,若极限lim£f(x)dx存在，贝I」f在E上勒贝格可积，且有｛x)dx=\m^f(x)dx当Ek是矩体Ik且f(x)在每个Ik上都是有界连续函数，同时满足lim£f(x)dx