浅谈学习实变函数的感受

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1、浅谈学习实变函数的感受——从Riemann积分到Lebesgue积分张六凤数学与应用数学1210503323摘要:本文首先介绍了Riemann积分的定义和Riemann积分的缺陷,再介绍了Lebesgue积分的定义。最后指出了Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系。发现Riemann积分和Lebesgue积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看,Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的推广,同时.Lebesgue积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次

2、智力革命,Lebesgue积分不仅扩大了可积函数类,而且还由于它独特的性质,解决了许多古典分析中不能解决的问题,使数学进入了现代分析时代.关键字:Riemann积分Lebesgue积分一、Riemann积分(一)定义(R)abfxdx=lim

3、T

4、i=1NfξΔxi其中Δxi=xi-xi-1,xi-1≤ξi≤xi(二)几何意义(非负函数):函数下方图形的面积注意:Riemann积分与分割T,介点ξi无关(三)Riemann积分的缺陷Riemann积分理论把区间的长度作为测量点集的大小的基础,有界

5、开区间(a,b)的长度即b-a,根据我们的常识,实数轴上的任意有限多个两两不交的有界开区间的并集的大小,恰是组成它的开区间的长度总和,定义为测度,这个规律就是所谓有限可加性。如果在实数轴上任意的一个有界的范围内,有无限多个两两不交的有界开区间,他们的并集是不是应该有个大小尺寸即测度,并且这个集的测度应该恰为组成它的所有的开区间的长度的总和呢?从有限可加性到σ–可加性,放映了人们对客观世界的认识从“有限”发展到“可数无限”的提高所以Riemann的理论还停留在初等水平上,它不承认测度σ-可加性,这

6、是它的本质缺陷。二、Lebesgue积分(一)定义设是一个勒贝格可测集,,是定义在上的勒贝格可测函数,又设是有界的,就是说是否存在及,使得,在中任取一分点组记并任取(我们约定,当时,),作和如果对任意的分法与的任意取法,当时,趋于有限的极限,则称它为在上关于勒贝格测度的积分,记作三、Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系(一)、可积函数的连续性连续函数是黎曼可积函数,当然也必是勒贝格可积函数,但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数,那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢?勒贝格给出了黎

7、曼可积的一个比较好的充要条件:函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集.这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的,在有理点处是不连续的.虽然在中有无穷多个有理点,即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个,但这个函数在上仍是黎曼可积的,且有事实上,中的全体有理数组成一个零测度集,所以黎曼函数是黎曼可积的.现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢?设是可测集上的连续函数,则在上勒贝格可积的充要条件是在上勒贝格可测.有限区间上的连续函数是可测函数,对

8、于几乎处处连续的函数,它显然几乎处处等于一个连续函数,而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测,所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.(二)积分的可加性[4]这里所说的可加性,指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性,即若,均为有限区间,()则有但是黎曼积分不具有可数可加性,对于勒贝格积分,它不仅具有有限可加性,而且还具有可数可加性,克服了黎曼积分的缺陷参考文献[1]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.[2

9、]刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物,是一大类天然产物,广泛存在于植物界,是许多中草药的有效成分。在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇,其它包括双氢黄(醇)、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。简介  近年来,由于自由基生命科学的进展,使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达

10、。它们对健康的好处有:(1)抗炎症(2)抗过敏(3)抑制细菌(4)抑制寄生虫(5)抑制病毒(6)防治肝病(7)防治血管疾病(8)防治血管栓塞(9)防治心与脑血管疾病(10)抗肿瘤(11)抗化学毒物等。天然来源的生物黄酮分子量小,能被人体迅速吸收,能通过血脑屏障,能时入脂肪组织,进而体现出如下功能:消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。  近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验,证实类黄酮既是

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