实变函数大纲

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1、普通高等教育“十二五”规划教材新世纪新理念高等院校数学教学改革与教材建设精品教材《实变函数》编写大纲新世纪以来，我国高等教育倡导高校要国际化，教学要信息化，要将研究性教学、创新性教学、实用性教学与传统性教学相结合。“十二五”开局之初，国家将提高人才培养质量，加强素质教育等多个人才培养目标提高到了一个前所未有的高度，这也引起了全国几乎所有高校的课程改革和调整，导致了传统的数学课时被大量的压缩和削减。但是，作为一本优秀的数学教材，其完整的学科体系又要求必须要包含那么多的内容和深度，这与高校数学教学的现状必然相矛盾。在这样

2、的新形式下，我们的教材编写思路需要作出调整。针对这一现状，我们拟定编写《实变函数》一书，以期在这方面做一些尝试，主要想突出以下特色：1.对原有传统内容进行优化、精简、取舍，并寻求更优的引入方法、组织方法和介绍方法。2.注重实用性。从教学的角度出发，新的教材要尽可能的适应不同层面的老师和学生。要最大限度的服务于学校自主性学习和研究性学习形式的开展。编写目录如下（三级标题目录）：第1章集合（字数：约3万字）1.1　集合运算1.1.1　集合的概念1.1.2　集合的运算1.1.3　集合列的极限集1.1.4　集类1.2　集合的

3、基数1.2.1　映射1.2.2　集合的基数1.2.3　Bernstein定理1.3　可数集合1.3.1　可数集概念1.3.2　可数集性质1.4　不可数无穷集1.4.1　不可数无穷集1.4.2　连续基数1.5　集合与函数41.5.1　特征函数1.5.2　集合与函数习题1（会上讨论并确定题型、题量）第2章维空间中的点集（字数：约3万字）2.1　聚点、内点、边界点、Bolzano—Weierstrass定理2.1.1聚点2.1.2内点2.1.3边界点2.1.4Bolzano—Weierstrass定理2.2　开集、闭集与完

4、备集2.2.1开集2.2.2闭集2.2.3完备集2.3　博雷尔集2.3.1博雷尔集概念2.3.1博雷尔集性质2.4　p进位小数2.5　开集的构造2.5.1开集的构造2.5.2一维开集、闭集和完备集的构造2.6　点集间的距离2.5.1点集间的距离2.5.2隔离性定理习题2第3章测度理论（字数：约5万字）3.1　外测度3.1.1外测度概念3.1.2外测度性质3.2　可测集合3.2.1可测集合概念3.2.2可测集合性质3.3开集的可测性3.3.1　区间的可测性3.3.2　开集的可测性43.4　乘积空间3.4.1乘积空间的区

5、间3.4.2乘积空间的可测集3.5　集合环上的测度3.5.1集合环与环上的测度3.5.2外测度与测度的延拓3.5.3Hausdorff测度与维数习题3第4章可测函数（字数：约5万字）4.1可测函数的定义及其简单性质4.1.1简单函数4.1.2非负可测函数4.1.3可测函数概念4.1.4可测函数性质4.2　依测度收敛4.2.1依测度收敛概念4.2.2依测度收敛简单性质4.3　可测函数列的收敛关系4.3.1Egroff定理4.3.2Lebesgue定理4.3.3Riesz定理4.4可测函数的结构4.4.1Lusin定理4

6、.4.2一维空间的Lusin定理习题4第5章积分理论（字数：约6万字）5.1　非负简单函数的勒贝格积分5.1.1非负简单函数的勒贝格积分5.1.2非负简单函数的勒贝格积分简单性质5.2　非负可测函数的勒贝格积分5.2.1非负可测函数的勒贝格积分5.2.2非负可测函数的勒贝格积分简单性质5.2.3Levi定理5.2.4Lebesgue基本定理45.2.5Fatou引理5.3　一般可测函数的勒贝格积分5.3.1勒贝格可积函数概念5.3.2勒贝格可积函数简单性质5.3.3积分的绝对连续性5.3.4勒贝格控制收敛定理5.3.

7、5黎曼积分与勒贝格积分5.4重积分与累次积分5.4.1Fubini定理5.4.2Fubini定理的应用5.5微分与不定积分5.4.1不定积分5.4.2单调函数可微性5.4.3有界变差函数5.4.4绝对连续函数5.5.5积分变量替换公式5.5一般测度空间上的Lebesgue积分5.5.1简单函数的Lebesgue积分5.5.2非负可测函数的Lebesgue积分5.5.3一般可测函数的Lebesgue积分5.5.4Lebesgue积分收敛定理习题5习题参考答案（字数：约1万字）参考文献总字数：约为23万字注：以上数字均按

8、版面字数计算，请各位作者严格按照大纲规定控制字数，上下浮动不超过10%.版面字数的计算：每一个页面所能排的行×每行字数（即列数）×面数；（行数和列数均用手数，不能用word里面的字数统计）；标点符号，空格，图、表、公式占的版面，因为行文和转行需要的空格均算版面字数。4