实变函数教学大纲

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1、贵州财经学院《实变函数》教学大纲课程英文名称：FunctionsofRealVariables课程代码:编写单位：数学与统计学院执笔人：张洁审核人：余孝军编写时间：2005年9刀贵州财经学院教务处印制年月日课程中文名称实变函数课程英文名称FunctionsofRealVariables课程性质数学与应用数学专业的必修课适用专业数学与应用数学专业先修课程数学分析、高等代数并修课程计量经济学总学时68总学分4使用教材胡适耕，实变函数，高等教育出版社，施普林格出版社（第一版）,1999参考书目参考书：程其襄等，实

2、变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，1987教学方式以课堂教学为主考核方式闭卷考试课程概述：实变函数是数学专业的一门重要的基础课程，通过学习使学生掌握近代抽象分析的基本思想，加深对数学分析知识的理解，深化数学有关内容的认识，同吋为今后学习泛函分析，函数论，概率论，微分方程，拓扑学等课程提供必要的测度论和积分论的基础，并为进一步学习现代数学基础打下必要的基础。学时分配表章次章名学时备注第一章集与点集12第二第测度与可测函数16第三章Lebesgue积分14第四章//空间12第五章微分论・Stieltjes积

3、分14总学时合计68第1章集与点集［教学內容］集合及其运算，集合列的极限，集合的直积，映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理，基数，可列集及其性质，连续基数，基数运算，无最大基数定理，n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球,邻域，距离，收敛，极限点，导集及其性质,Bolzano-Weierstrass定理闭集，开集，闭包，内点与内核，开集的构造，Cantor闭集套定理，Lindelof可数覆盖定理，Heine-Borel有限覆盖定理,函数的连续性，紧集，Borel集,Cantor集,集合与集

4、合的距离,点与集合的距离，连续函数延拓定理。［教学目标与要求］1）理解和熟悉集合概念和运算2）掌握集合的对数和基数3）掌握集合的可数和不可数性质、并加以判断4）了解半序集合选择引理5）了解度量空间概念，欧式空间6）熟练掌握聚点、内点等概念和性质7）熟练掌握开集、闭集、完备集概念及性质8）掌握直线上开集、闭集的构造［重点与难点］1）重点：集合的概念与理解；对数与基数；点集中涉及到的概念与定理。2）难点：集列的上，下限集及集限集；Bernstein定理；对等与势；直线上开集构造定理。［教学时数］理论教学时数：1

5、0课时，习题课教学时数：2课时第一节集合及其运算第二节映射第三节基数与可数性第四节R"中的点集第五节开集的结构•连续性第六节关于n维点集的基本定理［复习思考题］习题A：1、2、4、9、15、24、33。第2章测度与可测函数［教学内容］外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质，外测度的平移不变性，可测集与测度的定义，可测集的性质，递增可测集列及递减可测集列的测度问题，矩体是可测集，开集、闭集逼近可测集，集合的等测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性，可测函数的泄义及等价刻画，可测函

6、数的运算性质，简单函数逼近定理，函数的支集，几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定理，可测函数与连续函数。［教学目标与要求］1）掌握外测度概念和性质2）熟练掌握可测集的概念和性质3）熟练掌握可测集的运算和判别及其构造4）了解不可测集5）熟练掌握可测函数的概念和性质6）掌握叶戈洛夫定理7）掌握可测函数的构造定理8）熟练掌握依测度收敛，掌握不同收敛之间的关系［重点与难点］1）重点：L-可测集的概念与性质；可测函数的定义及等价定义；可测函数的性质；依测度收敛，几乎处处

7、收敛及“基本上”一致收敛的关系；可测函数的构造，鲁津定理。2）难点：L-可测集的概念L-测度的完全可加性（可列可加性）；叶果洛夫定理的证明及应用（鲁金定理的证明）；Riesz定理的证明。［教学时数］理论教学时数：14课时，习题课教学时数：2课时第一节Lebesgue测度第二节测度空间第三节可测函数第四节可测函数列的收敛性［复习思考题］习题A：1、3、5、11、18、26、30。第3章Lebesgue积分［教学内容］非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质，逐项积分定理，Fato

8、u定理，一般可测前数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性，积分变量的平移变换，Lebesgue控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数，连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性，有界函数在区间上Riemann可积的充分必要条件，Riemann可积函数与Lebesgue可积函数的关系，Tonelli定理，Fubini定理，积分的几何意义,分布函数。［教学目标与要求］1）熟练掌握积分的概念及性质2）