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1、中学数学教学案例—任意角的三角函数（第1课时）北屯高级中学高一数学组秦妮一、情境描述第一部分一一情景引入问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为他，它的直径为2R,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置0A出发（如图1所示），过了30秒后,你离地面的高度力为多少？过了45秒呢？过了r秒呢？【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义
2、向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置0A运动30秒后到达P点位置，由题意知ZAOP=30°，作PH垂直地面交0A于M,又知MH=ho,所以木问题转变成求PH,再次转变为求PM。要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题2：锐角。的止弦函数如何定义？【学生自主探究】：学生很容易得到OP\MPR二>
3、MP
4、=Rsina=>IPH
5、=h{)+Rsina二＞h=/?0+Rsina所以学生很自然得到“过了30秒后，过了
6、45秒,你离地面的高度力为多少？"hA=%+尺sin30°h2=/?（）+/?sin45°【教师总结】：八在锐角的范围中，i+Rsinr。第三部分一一引入新课问题3：请问f的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度力为多少？能不能猜想h=h0+Rsint°?【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三角函数。问题4：如图建立直角坐标系，设点4可,丹），你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角a的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？【学生自主探究】：sina=^=^OPROMxP,MPypcosa=
7、—,tana==—IOPIROMxp问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。地面的高度力？通过摩天轮知道：/?=/?o+/?sinl5O°=/?,=/?o4-7?sin3O°由此得到:sin150°=-2【设计意图】：通过这个，让学生检验=出在第二象OPR限角是否正确？问题7：sina二
8、歸在第三象限角或第四象限能成立吗？【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生取r=210,从而/?=/io+/?sin21O°,得到sin210°=--,2发现这与sina=I“卩I不相符，实际上是sina-'）OP\OP【教师总结】：我们通过这个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型/7=/70+/?sinZ°来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的止弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替IMPI或-MP
9、,那么这样就能够很好表示出任意角的止弦函数的定义。第三部分一一给出任意角三角函数的定义如图3,已知点P(x,y)为角。终边上的点，点P到顶点0的距离为R,则sin吨(Dcosa=—(awR)Rtana=—(a—+k7r)x2【分析】：让学牛•通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题&当摩天轮的半径R=1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：sina=y9cosa=x,tan=—oX教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义给出下列表格，让学生自己补充完整。
10、三角函数定义一：
11、OP1=1定义二：OP=R定义域sinayy_RaeRcosaXX~RaeRtana2.Vy_717a丰一七k兀2及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分一一例题讲解例1・（课木P14例2）已知角。终边经过点P.（-3-4）,求角a的正弦、余弦和正切值。【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。例2・（课本P14例1）求竺的正弦、余弦和正切值。3【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。y【教师讲解】：本题题
