考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章

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1、第十二章无穷级数【本章网络结构图】'定义性质•由定义判断由收敛的必要条件判断级数的发散性无穷级数无穷级数常数项＜级数收敛的充要条件比较审敛法比较审敛法的极限形式判断敛散性变号级数常用级数："级数和几何级数交错级数（莱布尼茨判别法）一般级数（绝对收敛和条件收敛）利用级数的若干性质（添项减项，加括号，去括号等等）求和一转化为幕级数求和或者利用定义幕级数收敛性的特点求幕级数的收敛域的方法幕级数幕级数和函数的性质幕级数的求和间接法函数展开成幕级数!弓接7’求定义在［-以］上的函数的傅里叶级数猪中gm拓求定义在［0，"上函数的正弦或者余弦级数傅申叶级数2己知函数的表达式求它的傅里叶级数和

2、常数项级数求和狄利克来收敛定理第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的收敛与发散给定一个数列绚上2上3,…，知,•••将各项依次相加，简记为工冷，即=W]+U2+弘3T+…，称该式为无穷级数,n=ln=l其中第77项冷叫做级数的一般项，级数的前n项和Sn=丫Uk=凤1+况2+“3+…+知称为级数的部分和。若1=1limS”二S存在，则称无穷级数收敛，并称S为级数的和，记作HT8s二工知；若limS“不存在，则称无穷级数发散。"—>8?J=1当级数收敛时，称差值乙二S-S〃二如+

3、+冷+2+…为级数的余项。显然lim^=0oHT8【例1]（93三）级数亍世工的和为nn=l/【

4、答案】In32-ln3oo结论：等比（几何）级数^aqn:收敛当

5、q

6、

7、=18s二工血=lim工冷=limS〃。itat〃T8三.无穷级数的基本性质GO（1）若级数为知收敛于S,即S二工如，则各项乘以常数C所得界=1/

8、=18级数工C冷也收敛，其和为CS。n=l注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变OOOOOO（2）设有两个收敛级数S二工如，a=^vn,则级数工WK）n==In=l也收敛，其和为S±CT。注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减相关结论:（1）若两级数中一个收敛一个发散，则£（叫土乙）必发散。/

9、=

10、1（2）若二级数都发散，£（叫土叫）不一定发散。/1=1【例】取知=（一1）2〃，V/,=（-l）2/：+I,而冷+乙=0。（3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。（4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。【例】（1—1）+（1—1）+…=0,但1-1+1-1+…发散。【例2】判断级数的敛散性：111111+++■■•V2-1V2+1V3-1V3+1V4-1V4+1【解析与答案】c1111〜V2—1V2+1J斤+1—1Ja?+1+1_()(11]、V2-1+1丿

11、Z+1—1J72+1+1丿22=2+1+—+•••+—3n(111)=2]1—<23n7limS?”不存在“T8故原级数发散三.级数收敛的必要条件8必要条件：若工冷收敛，则lim冷=0。厶哼,1—>OOn=逆否命题：若级数的一般项不趋于0,则级数必发散。1734n【例】上一土+2-工+・・・+(-1)“一1亠+・・・，其一般项为2345/?+1知=(_l)”j丄，当斤Too时，如不趋于0,因此这个级数发散。H+1注:lim%=0并非级数收敛的充分条件//—>«>8]111【例】调和级数工一=1111…，虽然仁523nlimW/l=lim丄=0,但是此级数发散。事实上，假设调和

12、级数收敛于"Too料S,则lim(52w-Sw)=0,川一>8但S2”一5”=丄+丄+丄+…+丄>丄=丄，矛盾！所以2,”H+1料+2“+32n2n2若收敛求其和:假设不真。£/—cos彳n=

13、r

14、>l时发散.n=l（2）0级数（或对数”级数）：£丄或£心卅In）敛，当p<时发散。【重点小结】1、常数项级数收敛和发散的定义2、常数项级数敛散的性质3、常数项级数收敛的必要条件4、常用的两个常数项级数第二

15、节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：若un>0,则称工知为正项级数。n=loo收敛定理1：正项级数》知收敛等优于部分和序列S”5=1,2,…）有n=界。oooo收敛定理2：（比较审敛法）设£血，£匕是两个正项级数，且存7?=17?=1在7VgZ+,对一切n>N,有un0）,则有（1）若强级数工匕收敛，则弱级数工冷也收敛;"=1?:=1（2）若弱级数£如发散，则强级数£匕也发散。n==调和级数与P级数是两个常用的比较级数。OO散;(2)竝（〃〉1），