第三章船体型线光顺性的数学描述

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1、第三章船体型线光顺性的数学描述在上一章中，我们重点讨论了如何根据有限的离散点建立能够准确描述其规律的函数表达式，即建立了函数方程。但是，我们知道船体型表面曲线是要求三向光顺的，我们所建立的插值或拟合函数能否很好地满足要求呢？要想搞清楚这一问题，我们必须从两个方面着手，一是船体型表面曲线的光顺要求；二是插值和拟合函数所能达到了光顺要求。§3-1船体型线光顺性准则“光顺”是一个工程上的概念，不同于数学中的“光滑”。在建立三次样条函数时，我们知道所建立的函数应保证曲线不I'可断；在节点处要有唯一的转角（--阶导数）

2、和弯矩（二阶导数）。对于其它的三次（含三次）以上的插值拟合函数要求曲线是不间断的（函数的连续），还要求在连接节点处具有公共的切线（一阶导数连续）；同时，在曲线与曲线连接时，则要求函数应具有函数及一阶导数、二阶导数连续的条件。凡是满足上述条件的插值或拟合函数，它所定义的曲线就是光滑的。对于工程中所要求的“光顺”的概念，目前还没有一个确切的定义，它是一个依据实际工作者根据多年生产实践积累的经验，用眼睛观察所绘制的曲线，其标准是判断曲线的变化是否满足光滑且和顺。所谓“光滑且和顺”是指所绘制曲线满足光滑的条件的同时，

3、还要满足“和顺”的条件。对于“光滑”即前面所述的光滑的条件，所谓“和顺”，就是曲线在满足光滑条件的基础上，要求其变换趋势没有局部凸凹和弯曲程度剧烈变化等现象。根据上述讨论，我们给出工程上光顺的一般概念：所谓光顺即光滑且和顺，就是曲线在满足光滑条件的基础上，其弯曲变换趋势应满足工程上的和顺要求。一、船体型线光顺性判别准则在手工放样中，曲线的光顺与否主要是依靠放样工人的实际工作经验，这是一项繁琐且枯燥的工作。在数学放样中，我们所建立的插值和拟合函数只是解决了根据给定的一组型值点和端点条件，用数学方法定义型线的问题

4、，至于所定义的型线是否满足光顺性条件，怎样对型线不光顺处进行型值调整，仅仅依靠研究函数本身是很难达到目的的，我们必须找到判别型线光顺性的数学方法和对型线进行光顺性调整的数学方法。在船体型线数学放样中，用于判断型线光顺性的方法，完整地体现了手工放样的光顺的概念，也体现了手工放样光顺性判别的方法。在手工放样中，根据长期积累的实践经验，已经总结出了单根型线光顺的准则：（1）型线上没有不符合设计要求的间断和折角点；（2）型线的弯曲方向的变化应符合设计要求；（3）型线弯曲程度的变化必须是均匀的；（4）型线光顺的型值调整

5、，应使调整量尽可能的小。根据上述手工放样型线光顺性判别和型值调整原则，将它们逐点“翻译”成数学语言,我们可以得到数学光顺的型线光顺性判别和型值调整的准则：（1）型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、二阶导数的连续；（2）型线的曲率符号变化应符合设计要求，没有多余拐点；（3）型线的曲率数值变化均匀；（4）型线光顺的型值调整，应使调整量尽可能的小。二、型线光顺性判别准则的数学意义在前面的讨论中，我们给出了船体数学型线光顺性判别准则4条，下面我们针对这4点逐一进行说明：1、型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、

6、二阶导数的连续这可以概括为曲线的连续条件。在以前讨论的描述船体型线的插值或拟合函数（以三次样条函数为代表），主要是以相邻两型值点为子区间构造的分段样条函数（这在建立三次样条函数的时候己经给出了充分的说明）。所建立的样条函数本身就满足了“光滑”的条件，即样条函数满足了曲线段在节点处具有函数、一阶导数、二阶导数连续。（注：样条函数的建立就是以上述条件为条件的，故在讨论样条曲线的光顺性时就不必再讨论曲线的连续条件。）2、型线的曲率符号变化应符合设计要求，没有多余拐点从曲线的性状对知，当曲线上出现拐点时，连接拐点的相

7、邻两段曲线之弯曲方向必然发生改变。在高等数学中给出：所谓拐点就是指二阶导数等于0的点。二阶导数表示的是样条的弯矩，同时如图3-1-1所示，在建立三次样条函数时,丄=与，即二阶导数还可以表示曲率，曲率p（x）dx2可以反映出曲线弯曲的方向和程度。在图3-1-1中我们可以看出：在虚线的左侧曲线是向上弯曲的（凸曲线），由高等数学知识可知八兀）<0,即曲率_!_<（），同样，在虚线的如）右侧曲线是向下弯曲的（凹曲线），必然有>0,即曲率丄>0。于是我们可以得到结论：当曲率小于0则曲线为凸曲线，当曲率大于0则曲线为凹曲

8、线。同时，我们还知道曲线的二阶导数是连续变化的，故曲率的变化也应该是连续的，由_L＜o=＞丄＞0是一个渐进的过程，在这个过程屮必然要经过丄=o这一位置。Q（X）PMQ（X）我们称_L=0这一点为曲线的拐点。p（x）这在数学上的解释是二阶导数等于0的点，从图形上解释就是曲线弯曲方向发生改变的点。船体型线中常见的多余拐点主要有以下几种类型：（1）相邻3个型值点之间出现2个拐点当出现这种情况（如图3-1-