高二数学综合卷10

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1、y高二数学综合101.如图，已知抛物线E:y2=x与圆M:（x-4）2+b=厂2（厂＞0）相交于A、B、C、D四个点。（I）求r的取值范围（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（I）将抛物线E:y2=x代入圆M:（x-4）2+r=r2（r＞0）的方程，消去y2,整理得F一7兀+16-厂2二0（1）抛物线E:y2=x与圆M:（x-4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根49-4(16-r2)>0<兀1+兀2=7>0兀1•兀2=16—厂2>0即＜—^r

2、>2-4

3、（X,-肩）、C（兀2，-低~）、D（兀2，JE）则直线AC、BD的方程分别为r~-厲-店/、.r~厲+妬，、y_g=(x-xl),y+Jxi=(x-xjx2一工1X2—Xj解得点P的坐标为(丁工1兀2，°)°设t=J"1兀2，由t=J16_y2由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S=2(2&7+2jI7)

4、旺一兀2I2则S2=(xt+2』“2+兀2)[(兀1+X2)2-4XjX2]将兀1+兀2=7,J心兀2=(代入上式，7并令f(t)=S2，等f(t)=(7+2/)2(7-2t)=-8/3一28/2+98》+343(0

5、77・・・广(0=-24厂一56/+98=-2(2/+7)(6$-7),令/、(/)=0得t=一，或/=一一(舍627777去)当o—时，r(o>o；当(=—时r(o=o；当一v/v—时，r(o

6、并说明轨迹是什么曲线。(I)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得a-c-,a+c=7・xV解得+3,所以椭圆C的方程为忆+丁".(II)设M(x,y),P(x,yJ,其中xg[-4,4].由已知得丄二工=孑x+y由点P在椭圆C上得y2=112-7%^代入①式并化简得9y2=H2,16所以点M的轨迹方程为y二4x/7二±^-(-4

7、)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点，求线段MN长度的最大值。解（I）设点P的坐标为（x,y）,则d=4J（x-3）2-b+3

8、x-2

9、=L由题设当x>2时，由①得J(x_3)2+y2=6_”,化简得当兀52时由①得J(3+x)2+)，=3+兀,化简得y2=12x22故点P的轨迹C是椭圆G佥+寻■=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=l2x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1(II)如图2所示，易知直线x=2与G，C?的交点都是A(2,2a/6),B（2,-2^6）,直线AF,BF的斜率分别

10、为匕严-2亦，%=2品.当点P在C]上时，由②知PF=6--x・④.当点卩在€；上时，由③知PF=3+x⑤若直线I的斜率k存在，则直线I的方程为y二纵兀一3）（i）当或k2g，即kW-2乔时，直线I与轨迹C的两个交点M（西，必），N（兀，y）都在C

11、上，此时由④知IMF

12、=6--x.INF

13、=6-丄x.22222从而丨MN

14、二

15、MF

16、+INF

17、=（6-—X.）+（6-—x）=12-丄（无+X）22222y=k（兀-3）由L2v2得（3+4疋）兀2_24/x+36疋一108=0则西，）[是这个方程的两根，所—+—=113627以兀］+x=

18、24k23+4疋IMN

19、=12-（壬+兀）=12・.2123+4疋°因为当^<2^/6,或时,疋》24,MN=12一一=12--^—=—.当且仅3+4疋1411当k=±2品时，等