高二数学培优辅导学案：立体几何中的向量方法02

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1、高二数学培优辅导学案：立体几何中的向量方法【知识整理】向量表示空间的点、直线、平面1直线：①直线的方向向量：和这条直线.②对于直线/上的任一点P,存在实数/,使得，此方程称为直线的向量参数方程.2平面：①空间中平面&的位置可以由a内两个不共线向量确定.対于平面&上的任一点P,a.b是平面。内两个不共线向量，则存在有序实数对（x,y），使得丽二②空间屮平面Q的位置还可以用垂直于平而的直线的方向向量表示空间小平面的位置.3平面的法向昼如果表示向虽方的冇向线段所在直线垂直于平面口，则称这个向屋齐垂直于平面记作7丄&,那么向量n叫做平面a的法向量.点到平面的距离的求法如图徒％空间一点P到平面a的

2、距离为d,已知平面a的一个法向量为n,Kn表不d?分析:过P作户0丄0于连结创则d=PO=PAcosZAPO.TPO丄a,n丄q,PO//n>/.cosZAP0=

3、cos

4、【典型例题】例1已知两点A（1,-2,3）,B（2,1,-3）,求肓线初与坐标平［ft*YOZ的交点.变式：已知三点4（1,2,3）,B（2,1,2）,P（1丄2）,点Q在OP上运动（0为坐标原点），求当QA^QB取得最小值时，点Q的坐标.例2在空间直角坐标系中，已知4（3,0,0）,B（0,4,0）,C（0,0,2）,试求平面肋C的一个法向:g.例3.设：，乙分别是直线厶仏的方向向量，判断直线的位置关系：⑴厂

5、（1,2,-2）,4（-2,3,2）；⑵方=（0,0,1）/=（0,0,3）.例4：如图，60。的二而角的棱上有人B两点，总线AC,BD分别在这个二而角的两个半平而内，且都垂直于AB,己知AB=4,AC=6,3D=8,求CD的长.变式.如图，妝"分别是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BBSBC的中点.求异而总线必V与CZT所成的距离.例5已知正方形肋〃的边长为4,E、F分别是初、初的中点，GC丄平面初〃，且GC=2,求点〃到平面眦的距离.【基础过关】（一）一、选择题（每小题5分，共20分）1.若两个不同平面"，0的法向最分别为u=（1,2,—1）,v=（—4,一&4）,贝l

6、j（）A.a//pB.a丄0C.a,0相交但不垂直D.以上均不正确2.在平面初Q?中,水0,1,1）,Ml,2,1）,C（—l,0,-1）,若日=（一1,y,0,且玄为平面初C的法向量，则#等于（）A.2B.0C.1D.无意义3•在正方体ABCD—A、BGD中，棱长为&M、艸分别为胚的中点，则妳与平而BBC、C的位置关系是（）A.相交B.平行C.垂直D.不能确定4.止棱柱ABCD-ABGD中，丛=2皿,贝U界而直线AD.所成角的余弦值为（）12厂3A.TB.-C.-5555.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，b迪C血3336.若平面。的一个法向量刀=（2,1,1）,4D-K则侧面

7、与底面所成的二面角的余弦值为（）1D-3直线/的一个方向向量为曰=（1,2,3）,则1与a所成角的正弦值为（）A.V176C.^217.二面角的棱上有久〃两点，直线ZIG劝分别在这个二血角的两个半平血内，且都垂在于昇〃•已知AB=4,弭片6,肋=8,42知，则该二面角的人小为（）A.150°B.45°C.60°D.120°8.在棱长为日的正方体ABCD-A出.CA中，必是创的中点，则点4到平面必妙的距离是（）.

8、疋四棱柱ABCD—人BE的底面边长为1,加?与底面九妙成60°角，则zhG到底而九d的距离为（）A.誓B・1C.y[2I）.书o9.正方体ABCD—ABCA的棱长为1,0是底面ABGD的屮心，则0到平ABGD,的距离是（）A冷B.乎C.芈1）.申二、填空题（每小题5分，共10分）10.总线/不在平而/化内，K/上两点C、〃满足CD=AJb+仏花，则总线/与平而加忙的位置关系是•11.设a={x,4,3）,方=（3,2,z）,且a//b,则舷等于.12.正方体ABCD—A占CA中，直线滋与平面M〃所成的角的正弦值是.13.正△/!比与正△妙所在平面垂直，贝IJ二面角A-BD-C的余

9、弦值为.14.P为矩形昇妙所在平面外一点，以丄平面ABCD,若已知AB=3,初=4,以=1,则点P到肋的距离为-15.在直二面角（1-1-p中，A.BE1,AO2u,ACA-J,BDTp,BDL1,/fC=6,AB=8,肋=24,则线段〃的长为・三、解答题（每小题10分，共20分）ClM1&如图所示，在止方体ABCD—A点Cd中，饥浮分别是GG的中点,求证：必V〃平面ABD.19.（10分）已知必为长方体滋的棱％的中点，点尸在长方