数学选讲旋转与面积证明方法选学

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1、数学选讲：旋转与面积证明方法选学例1、如图，已知等边△ABC和点P,设点P到三边AB、AC.BC（或其延长线）的距离分别为力I、th、居，AABC的高为力.在图（1）中，点P是边BC的中点，此吋力3=0,可得结论：力［+他+Zig=力.在图（2）・・（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外.（1）请探究:图（2）-（5）中,伤、力2、居、力之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论.（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，ZB=ZC=60°,RS=n,BC=m,点、P在梯形内，且点尸到四边B/?、RS、

2、SC、CB的距离分别是加、仏、居、屁，桥形的高为力，则/?】、力2、居、仏、间的关系为：；图（4）与图（6）屮的等式有何关系？A2.在厶昇腮屮，ABAC,CGIBA交胡的延长线于点E—等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为冋一条直角边与/C边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.（1）在图15-1中请你通过观察、测量处与的长度，猜想并写出莎与％满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿化方向平移到图15-2所示的位置时,一条直角边仍与力Q边在同一直线上，另一条直角边交〃C边于点〃，过点〃作DEX.BA于点E此时请你通过观察、测量〃£DF与CG

3、的长度，猜想并写出必'+加与〃之问满足的数量关系，然后证明你的猜想；图15-1G图15-3（3）当三角尺在（2）的基础上沿方向继续平移到图15-3所示的位置（点尸在线段上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）例2、已知四边形ABCD中，丄AD,BC丄CD,AB=BC,AABC=120°,ZMBN=6(X,ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当ZMBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF.当ZMBN绕B点旋转到AE^CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成

4、立，猜想，BCM（第2题图3）AB=AC,AD=AE,(第2题图2)在△ABC和中，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写ill你的A(第2题图1)例3、已知：如图①所示，ZBAC=ZDAE,且点3,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证：①BE=CD；②是等腰三角形.(2)在图①的基础上，将厶ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写11!(1)中的两个结论是否仍然成立；CA图①NEA(3)在(2)的条件下，请你在图②屮延长ED交线段BC于点P.求证：HPBDs^AMN・第25题图C重合)，PE

5、1BC于点、E,PF2.如图8-1,已知戶为正方形月〃仞的对角线应7上一点(不与A.丄CD于点、F.(1)求证：BKDP；(2)如图8-2,若四边形绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有刃七〃P?若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(1)试选収正方形昇购?的两个顶点，分别与四边形戶财的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形股F绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论•例4、如图1,已知正方形ABCD的边CQ在正方形DEFG的边QE上，连接AE、GC.图8-1图8-2（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG绕点

6、D按顺时针方向旋转，使点£落在BC边上，如图2,连接AE和CGo你认为（1）屮的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.D（图1）（第4题）G例5、己知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN丄DM且交ZCBE的平分线于N。（1）求证：MD=MN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。（2）若将⑴中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ZACP的平分线上一点，则当ZAMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？

7、请说明理由.（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正〃边形ABCD・・・X”，请你作出猜想：当ZAMN=°时，结论AM=MN仍然成立.（直接写出答案，不需要证明）DCAMBE笫2题图IDCAMBE第2题图2".如图①，小明在研究正方形沥仞的有关问题时，得出：“在正方形肋CZ?中，如果点〃是Q的中点，点尸是应'边上的一点，且上FAE=ZEAD,那么EF1AE”。他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF丄AE”结论。你