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1、1数学的预备知识1.1群、环.域的基本知识，群的陪集分解整数环多项式环模q运算下的整数环模p(x)运算下的多项式环整数环上的有限域｛模p运算｝Z/(p)多项式环上的有限域｛模p(x)运算｝F(x)/p(x)1.2有限域生成和举例GF⑵域上的4阶本原多项式：x4+x+l它是GF(2)域上的4阶不可约多项式，它的周期是24-loGF(24)域上的本原元a,以及元素的两种表示由a的方幕构成所有非零元素的乘法循环群所有非零元素的多项式表示、即1,a,a?的线性组合乘法循环群中元素的阶GF(24)域上的特征元素的最小多项式最
2、小多项式的共辄类元素的阶、最小多项式的周期GF(2°)域的构造GF(2°)的子域和最小子域GF(24)域上元素的分裂域多项式x"+x的因式分解例1验证x4+x+l是不可约多项式x不能整除x4+x+l,余式为1X+1不能整除x4+x+l,余式为1商X’/余x'+x+l商X?/余x2+x+l商x/余1x2+x+l不能整除xJx+l商X?/余x3+x2+x+l商x/余1例2验证X4+X+1的周期是15。x4+x+l的周期是x4+x+l整除x"+l,N取最小的整数。验证最小整数是否是15=2—1x4+x+l除以xN商NX4
3、/余NX-3+N-4X商xN7/余xNxN-6+xN"7商NX'/余.广+xw商NX"/余NX8+xN-9+xN-10商xN余xN9+严。+XNH1商NX"/余NX104-xZ+xi商NX审余NX114-xN-14商xN"/余xN15例3多项式X4+X+1的除法电路。多项式除法电路多项式x4+x+l的除法电路多项式x4+x+l的除法电路的状态表时序第一级第二级第三级第四级输出aoa1a2a3010001010020010300014110050110600117110181010901011011101101111
4、21111131011141001151000例4GF(24)的生成、元素的方幕表示和多项式表示.元素的阶GF(2)域上的4阶本原多项式x°+x+l的根(X：a4+a+1=0即a°=1+a由oc生成GF(2m)Ji的元素。元素元素阶数001C(1aC(15a2oc215a3a35a41+oc15a5a+a23a62.3oc+a5a71+oc+a315a81+a215a9a+a35a101+a+a23a119Qa+ot+a15a121+a+a2+a35a131+a2+a315a141+a315a151例5GF(24)
5、上的元素的分类以及相应的最小多项式元素最小多项式元素的阶数和最小多项式的周期248a,a,a,ax4+x+l1536129a,a,a,ax4+x3+x2+x+l5a5,a10x2+x+l3a7,a14,a13,a11x4+x3+l151x+110例6GF(2“)上的元素最小多项式和它们的因式分解x4+x+l=(x-a)(x-a2)(x-a4)(x-a8)x°+x'+x2+x+l=(x-a3)(x-a6)(x-a12)(x-a9)x4+x3+l=(x-a7)(x-a14)(x-a13)(x-a11)x2+x+l=(x
6、-a5)(x-a10)x+l=(x-1)例7GF(24)域的构造、特征和子域GF(24)域元素的总数=2’GF(24)域的特征是2,即最小子域是2个元素：0、12整除2°GF(24)域的子域是GFQ'),有4个元素：0,1,a5,a102?整除T例8GF(2°)上的多项式x"+xX16+X=(X1'+1)X=(x°+x+l)(x4+x3+x'+x+l)(x4+x3+l)(x2+x+l)(x+1)X=(x-a)(x-a2)(x-a4)(x-a8)(x-a3)(x-a6)(x-a12)(x-a9)(x-a7)(x-a1
7、4)(x-a13)(x-a11)(x-a5)(x-a10)(x-1)x1.3有限域基本概念本原多项式本原元元素的阶有限域的特征元素的最小多项式最小多项式的共辄类分裂域基本性质GF(Q)域非零元素P的阶整除(Q-l),(X-p)整除xJ有限域的所有非零元素构成一个乘法循环群GF(Q)域中存在本原元有限域的特征有限域的特征是一个素数G+0)p"=刖+0严有限域元素的最小多项式元素的最小多项式整除以元素为根的多项式多项式xQ-x的最小多项式分解GF(Q)域中元素的多项式表示以及方幕表示GF(Q)域共有p,n个GF(Q)域
8、的结构存在一个GF(Q)域，Q=Pm其中p是素数，m是正整数存在一个GF(q)域上m阶的本原多项式最小多项式和共辄类元素P卩是P的最小多项式的根最小多项式根的共辄类最小多项式的共辄类因式分解基本性质的证明：定理10・3:设陆陶…卩q・i是有限域GF(Q)上的非零元xQa-l=(“1)(肝2)・・・(十险1)。非零元素P的阶整除(Q-l),(X-p)整除xJ证
