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1、课时作业40数学归纳法时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)n+?II111.证明<1+于+§+才尹s+l(/7>l),当n=2时，屮间的式子等于()A.1B.1+2C.1+出D.1,111+2+3+4解析：当〃=2时，中间的式子111,1111+2+3+?=1+2+3+4-答案：D2.用数学归纳法证明"/+(/?+1)3+(/?+2)3,证n=k+(k^N)时的情况，只需展开()A.伙+3)3SGN)能被9整除”，要利用归纳假设B.伙+2f伙+1尸+伙+2)3C.伙+1)3D.解析：假设心心WN)时，疋十伙+1)3十伙+2)3能被9整除，当宀+1时，伙+1)3+伙
2、+2)?+伙+3)3为了能用上面的归纳假设证明，只需将伙+3)3展开，让其出现疋即可.故应选A.答案：A3.数列｛禺｝中，已知血=1,当心2,且mWN*时,an—atl-i=2n—,依次计算。2‘。3,后，猜想Q”的表达式是()A.3n_2B.n2C.3"T解析：计算出«1=1,02=4,03=9,如=16.可猜给=/(nWN*).故应选B.答案：B4•用数学归纳法证明34w+I+52/l+1(«eN*)^被8整除时，若时，命题成立，欲证当n=k+l时命题成立，对于34(A+1)+1+52(^,)+1可变形为()A.56X34A+1+25(34^+1+52A+1)B.34X34^,4-52
3、X52A，C.34k+l2k+D・25(34/c+1+52k+l)解析：当n=k~r1时，34伙+1)+1_
4、_§2伙+1)+1_34*+】x3°+5以一1X52=81X34A+1+25X52A+1=56X3心+25(34小+52A+').答案：A5.已知一个命题“伙)，这里当/2=1,2,…，999时，"伙)成立，并且当/7=999+1吋它也成立，则下列命题中正确的是()A."伙)对于£=2002成立B.p伙)对于每一个口然数k成立C.p伙)对于每一个偶数R成立D.p(k)对于某个偶数可能不成立解析：由已知得k=2,4,6,…，2000命题成立.故排除A,B,C,应选D.答案：D6.设
5、沧)是定义在正整数集上的函数，H/W满足：“当f(k)^k2成立时，总可推出朋+1)$仗+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若犬3)玄9成立,则当Q1时，均有/伙)2疋成立B.若7(5)225成立，则当kW5时，均有成立C.若/(7)<49成立，则当Q8时，均有代kX。成立D.若几4)=25成立,则当RN4时，均有f(k)^k2成立解析：对于A,若人3)$9成立，由题意只可得岀当Q3时，均有张)鼻疋成立，故A错;对于B,若7(5)325成立，则当心时均有笊曰$成立,故b错；对于€,应改为“若7(7)249成立，则当Q7时,均有阳三&成立”,故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，
6、共15分)7.观察下式:1=132+3+4=32；3+4+5+6+7=5?；4+5+6+7+8+9+10=7?；….则可得出第H个式子为.解析：各式的左边是第乃个正整数到第3n-2个连续正整数的和.右边是奇数的平方，故可得出第〃个式子是：斤+(〃+1)十⑺十2)十…十(3川一2)=⑵?一l)2(«eN*).答案：“+(/?+1)+(斤+2)(3/2—2)=(2/i—1)2(z?CN*)8.设S]—12»^2—12+22+12,…，Sm=12+22+32(n—l)2+n2+(n_I)2+•••+22+12,用数学归纳法证明必="(2了1)时,第二步从玄到“R+1”应添加的项为.解析：由：，S2
7、,…，S”可以发现由n=k到"=k+1时，中间增加了两项伙+1)2+/答案：伙+1)2+疋1I11975.(2011•辽宁沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1+卄卄…十詩為gN)成立，其初始值至少应取._丄111—2"］解析：左边=1+空+才+…+尹=2_2“-1,代入验证可知斤的最小值是&-1巧答案：8三、解答题(共55分)6.(15分)用数学归纳法证明:A“=5"+2・3〃t+1SWN)能被8整除.证法一：⑴当几=1时，旳=5+2+1=8,命题成立.⑵假设当寸，加能被8整除，即£=5*+2X3i+l(kGN)是8的倍数，那么加+1=+2X3*+1=5(5*+2X3*7+1)—4(3*t+
8、1)=5去一4(3*7+1).••入是8的倍数，3^+1是偶数，则4(371)也是8的倍数,・・・九+］能被8整除.当n=k--1时，命题也成立.由⑴⑵知,对一切正整数几,如能被8整除.证法二：“作差”应用归纳假设.Ak+i-Ak=5k+l+2X3k+1-(5^+2X3^_1+1)=4(5*+).・・•加是8的倍数，5k+3k'｝是偶数,4(5+竹也是8的倍数,・・・加+］是8的倍数(其余证明如证法一).7
