实数学习提纲

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1、一.实数的概念（一）实数的定义和分类★整数和分数统称为有理数。'整数有理数＜分数小数是什么呢？「有限小数小数彳「无限循环小数I无限小数Y-无限不循环小数①所有的分数都可以化成小数。②有限小数都可以化成分数③无限循环小数都可以化成分数④无限不循环小数不能化为分数。除了无限不循环小数外，其他小数都等同于分数。有时也直接称其为分数。所以除了无限不循环小数外，其他的数都是有理数。★无限不循环小数不是有理数。无限不循环小数是无理数。正无理数★有理数和无理数统称实数r正有理数L正无理数j•负有理数1负无理数（二）实数与数轴.相反数、绝

2、对值1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。IIIII-10123452、正实数的绝对值是,0的绝对值是,负实数的绝对值是3、a的相反数为一a练一练：①兀的和反数是。3.14-n的和反数是a-b的相反数是②H的绝对值是oJI-3.1416927的绝对值是（a-b）2的绝对值是（三）什么样的数是无理数1、兀是无理数。一兀也是无理数。任何一个非0有理数与71加减乘除都是无理数。化简后含有兀的数都是无理数。2、5.02002000200002……Z类的数是

3、无理数。3、再看一类无理数：右图屮，以直角三角形斜边为边的正方形的面积是多少?x2=12=122=432=942=16x不可能是整数，x是介T2,3Z间的数。22455251212144—X—=——X—=———X—=33944165525两个相等的最简分数相乘，积不可能是整数。因为X.X是整数，所以X不可能是分数。由于X既不可能是整数，也不可能是分数，所以X是无理数。同样，对于满足x2=3,x2=6,x2=7,x2=8,x2=10等的x也是无理数。对于满足x2=0,x2=l,x2=4,x2=9,x2=16等的x是有理数。那

4、么，对于满足x2=a,x是有理数还是无理数，该怎么计算呢？二、平方根、二次根式（一）方根.开方对于x'=y,己知X,求y,称为乘方运算。x称为底数，n称为指数，y称为幕（x的n漏）。己知y,求x,称为开方运算。y称为被开方数，x称为y的n次方根。开方运算是乘方运算的逆运算。（-）平方根、开平方对于x2=y,己知x,求y,称为平方运算。x称为底数，y称为幕（x的2次幕或2次方）。已知y,求x,称为开平方运算。y称为被开方数，x称为y的平方根，也叫二次方根。求一个数的平方根的运算叫开平方运算。开平方运算是平方运算的逆运算。(T

5、)x'二1,x=；x=4x二；x'二9,x=由此，可以得到一个结论：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。②x2=0,x二由此，可以得到一个结论：0只有一个平方根，0的平方根是0。③x2=—1,x=?由此，可以得到一个结论：负数没有平方根。或者说：负数的平方根没意义。也可以看出，不管X是何值，/都不能为负数。即：x2>0（三）算术平方根定义：一个正数的正的平方根，称为这个正数的算术平方根。一个正数a的算术平方根记作：Va（a叫被开方数）规定：o的算术平方根是0,即Vo=O所以，一个非负数（即a>0）的平方根可以记作

6、：±Va（四）在数轴上表示石U丄X(五)二次根式运算1、一般地，形如4a,（a>0）的式子叫做二次根式。想一想：若厶-2有意义,则x的取值范围是2、二次根式的乘除①VF=y/~ab②yfab=-Ja•4b(a>0,/?>0)y/~a4b出（心0,/?>0）练一练:V8

7、1a/9」Jo.25v16V27y/120扶5.合并同类根式同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.合并二次根式：m^!~a+n^l~a=（m+nJam^fa-nj~a=（m一n）Va练一练:7300-^/72—V32+V27+V75（5+Vi0）（5V2-2V5）/J—J--760■■4-V27艸5丿53<4丿3、分母有理化要求：①根号中没有分母。②分母中没有根号757+712V3-1V3+1V3V3+V2三、立方根、开立方对于x3=y,己知x,求y,称为立

8、方运算。x称为底数，y称为幕（x的3次幕或3次方）。已知y,求x,称为开立方运算。y称为被开方数，x称为y的立方根，也叫三次方根。求一个数的立方根的运算叫开立方运算。开立方运算是立方运算的逆运算。x3=l,x=,x3=8,x=,x3=0,x=,x3=—1,x=,x3=—8每个数都有且只有一个立方根，正数