实变函数习题解答（二）

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1、第二章习题解答1、证明P.eEf的充要条件是对任意含有人的邻域U(P,》)(不一定以人为中心)中，恒有异于人的点人屈于E(事实上，这样的人述有无穷多个)。而0听E的充要条件则是有含人的邻域U(P,小(同样，不一定以人为中心)存在，使U(P,5)uE。证明：(1)充分性，用反证法，若吒疋E',则儿的某一邻域U(£),心)中至多有有限个异于人的点X"X2,…，X“属于E,令mind(^,旺)二在U(£,夕)中不含异于人的点屈于E,这与条件矛盾。必要性，设U(P,/)是任意一个含有人的邻域，则d(£)

2、,E)〈5,令岳二5-d(£),P)〉0,则U(«,Q)uU(P,6)。因为P{)eE所以，在U(人，$)中含于无穷多个屈于E的点，其中必有异于人的点用，即U(P,5)中有异于人的点片。(2)必要性是显然的，下而证明充分性，设含有几的邻域U(P,》)uE,则d(£,P)C,令$Y-d(£,P),则U(£),Q)uU(P,d),从而U(£),o§)uE,故P{}eEoo2、设R"=Rr是全体实数，厶是［0,1］上的全部有理点，求E：,E「E。0解：E；=［0,1］,E=e,E二［0,3、设Rn

3、=R2是普通的xoy平而，1]o£2={(x,y)0

4、x2+/

5、xH0,y=siny}U{(0,y)卜lWyWl}e3=(/>0_5、在F中看第2题的耳，E,,E各是由哪些点构成的。解：E；二{(兀,0)

6、OWxWl}0E=eE二E；

7、6、证明点集F为闭集的充要条件是F=F。证明：充分性，若戸=F，则FUF'=F，故F‘uF,即F为闭集。必要性，若F为闭集，则F‘uF,所以FUF=F,即戸=Fo7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是闭集，CF是开集，所以G—F=GC1CF是开集，F—G=F"CG是闭集。8、设八兀)是(一8,+-)上的实值连续函数，则对于任何常数a,E={xfa}是开集，而Ei={xf(a:)Ma}是闭集。证明：若E={xf(X)>(7)=

8、，则E是开集，若EH。，Vx0eE,有f(x0)>,因为/(无)在X。连续，所以38>0,当xgU(x0,/)时，有f(x)>«,即U(x0,5)uE,所以X。是E的内点，故E是开集。同理可证{xIf(x)<^}是开集,而Ei={xf(x)>a}是{兀

9、/(兀)

10、d(x,F)〈*},则G”是开集。事实上，Vx0€Gn,有d(x0,F)<*,即infd(x0,y)〈

11、*,所以3y0eFf使d(x0,yeF儿)=5〈+，令£=+_§'VXGU(x0,£),有d(x0,x)

12、。因为F是闭集。所以FuF,故xeF.于是coconG〃uF,所以F=nGz;on=l/?=100设G为开集，则CG为闭集，所以存在开集G“，使CG=AGn,而G=C(CG)n=lcoco=C(nG”)=UCG”，CG”为闭集，即G可表示为可数个闭集的和集。/

13、=1/

14、=110、证明用十进位小数表示［0,1］中的数吋，用不着数字7的--切数成一完备集。证明：在［0,1］中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7,0.8),第二位小数用到7的小数是(0.07,0.08),(0.17,0.18),…，

15、(0.97,0.98),…。第比位小数用到数字7的小数是(0.®①…Q“_］7,0.ax①…。”一⑻(其中4，勺，Q”_i是0,1,2,…，9取完各种可能的n—1个数)记这些开区间的全体为U4,H=1设［0,1］上不用数字7表示的小数的全体为E,则E=C［(jA〃)U(—8,0)n=U(l,+-)］而人，(一8,0),(1,+8)是可数个互不相交且无公共端点的开区间，所以E是完备集。11、证明f(x)为［d,b］上连续函数的充分必要条件是对任意实数C,集E={xf(x)^C},与Ex={x