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1、1,数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8・问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.（1）在点P运动时，这两个正方形面积Z和是定值吗？如果时求Hh若不是，求出这两个正方形面积Z和的最小值.（2）分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点A,当点P运动时,在ZXAPK、AADK>ADFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题抓展：（3）如图2,以八B为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ二8.若点P从点A出发，沿A-B-C-D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运
2、动过程屮，PQ的屮点0所经过的路径的长。（4）如图（3）,在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点G、H分别是边CD、EF的屮点.请肓接写出点P从M到N的运动过程屮，GH的中点0所经过的路径的长及OM+OB的最小值.（1）当x=4吋，这两个正方形而积之和有最小值，最小值为32；（2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析；（3）PQ的中点0所经过的路径的长为6JI；（4）点0所经过的路径长为3,OM+OB的最小值为J帀.试题分析：（1）设AP二x,则PB二1-x,根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和二x'+（8-x）根据PE〃BF求得PK二S,
3、进而求得DK二PD-PK二a-8,然后根据面积公式即可求得；PQ的中点0所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90°的鬪弧；GH中点0的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，然后利用轴对■称的性质，求出OM+OB的最小值.试题解析：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.设AP二x,则PB二8-x,,配方得到2（x-4）却32,然后根据二次函数的最值问题求解；根据题意得这两个正方形而积之和二/+(8-x)2=2x-16x+64=2(x-4)2+32,所以当x=4时，这两个正方形面积Z和冇最小值，最小值为32；(2)存在两个血积始终相等的三角形，它们是AAPK与△DF
4、K.依题意画出图形，如图所示.设AP=a,则PB=BF=8-a.TPE〃BF,PK_AP••百P,PKa即St-a8,反I・・・PK=§,<2^8—djsT・•・DK二〃PD-PK二〃a-8=8,••・Skk=LpK・PA=L・8*a=M,Sadfk=-DK*EF=・$・(8一a)=MSaapk-Sadfk;(3)当点P从点A出发，沿A-B-C-D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上,若点P在点A,点Q在点D,此时PQ的中点0即为DA边的中点;若点Q在DA边上，且不在点D,则点P在AB±,且不在点A.1此时在RtAAPQ中，0为PQ的中点,所以A0=-PQ=4.所以点0在以A
5、为鬪心，半径为4,圆心角为90°的圆弧上.PQ的中点0所经过的路径是三段半径为4,
6、员
7、心角为90°的関弧，如图所示:所以PQ的中点0所经过的路径的长为：」X2nX4=6ji；(4)点0所经过的路径长为3,0M+0B的最小值为」帀.如图，分别过点G、0、H作AB的垂线，垂足分别为点只S、T,则四边形GRTH为梯形.0S=-(GR+HT)=-(AP+PB)=4,即OS为定值.・・・点0的运动路径在与AB距离为4的平行线上.•・・MN二6,点P在线段MN上运动，且点0为GH中点,2・••点0的运动路径为线段XY,XY二二MN二3,XY〃AB且平行线之间距离为4,点X与点A、点Y与点BZ
8、间的水平距离均为2.5.如图,作点M关于直线XY的对称点M，,连接BM',与XY交于点0.Nf由轴对称性质可知，此时OM+OB二BM'最小.在RtZXBMW屮，由勾股定理得：BW二小皿：+酉..•.OM+OB的最小值为而?.2,如图，已知厶丄厶，。0与厶厶都相切，O0的半径为2cm・矩形ABCD的边AD,AB分别与厶，厶重合，AB=4V3cm,AD=4cm.若。0与矩形ABCD沿Z同时向右移动，O0的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)・(1)如图①，连接OA,AC,则ZOAC的度数为▲°;⑵如图②，两个图形移动一段时间后，00到达OOi的
9、位置，矩形ABCD到达ABCD的位置，此时点O,AhG恰好在同一直线上，求圆心0移动的距离(即OCh的长)；(3)在移动过程屮，圆心0到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm).当d<2时，求t的取值范围.(解答吋可以利用备用图画出相关不意图)3f(Mll2一宀<3)
