初中奥数系列：2.4.1提公因式、公式法.题库学生版

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1、提公因式法、公式法板块一：因式分解的基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形:热式的乘枳m(a+b+c)□ma-vmb+me因式分解式中加可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用

2、分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幕的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幕的形式.【例1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.(1)(兀+〉‘)(兀一)')=兀2-y2

3、；(3)x2+-2=x(x+3)-2；⑵x3+x2-x=x(x2+x)(4)xy+x+y+1=(x4-1)()’+1)【例2】观察下列从左到右的变形：(1)-6a3b3=(2a2b)(-3ab2);(2)ma-mb+c=m^a-/?)+c(3)6兀$+nxy+6/=6(x+y)2;⑷(3a+2b)(3a-2b)=9a2一4Z?2其中是因式分解的有(填括号)板块二：提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因

4、式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幕.【例3】分解因式：ad—bd+d；【例4】分解因式：8//z2-6x5/【例5】分解因式：-2/W3+6/722-18/72【例6】分解因式：6心+3幵+討【例7】分解因式：x2y2-x2z2-y2z24-z4【例8】分解因式：a2b3-abc2d+ab2cd-c3d2【例11】分解因式：a2-4a+4-b2【例12】分解因式:-6abc-14/戻+12cdb【例13】分解因式：-6/+15/-12°4【例14】分解因式：4x(a2+x2)-a2-x2【例

5、15】分解因式：-26xy3z2+13xy2z2+52x5y2z4【例16】不解方程组｛；；；［，求代数式7y(x-3).，)2-2(3y-M的值.【例18】分解因式：3x2r+，-12x3^z(门为大于1的自然数).【例19】把下列各式进行因式分解：-4x3/+6x2/-12x2y【例20】分解因式：3x(a+2b『-6勺心+2/?)【例21】分解因式24x2y3za-b)2-20x3y2z3(a-b)2+Sx5yAza-b)2【例22】分解因式：6(/7/-nf+12(n-m)4【例23】分解因式：m

6、(tn-n)5+n(n-m)5【例24】分解因式:a(a+b)(a-b)-a(a+by【例26】分解因式：(2a+3b)(d-2b)-(3a+2b)(2b-a)【例27】化简下列多项式：l+x+x(l+x)+x(l+x)2+x(l+x)3+・・・+x(l+x)2°°6【例28】分解因式：15a（a—b）如一10"0-°广S为正整数）【例29】分解因式：4心6严分_（加、n为大于1的自然数）【例30】分解因式：(x-y)2n^-(x-z)(x-y)2n+2(y-x)2n(y-z)，"为正整数.【例31】先化简再

7、求值,y(x+y)+(x+y)(x-y)-x2,其中x=-2），=2【例32】求代数式的值：（3兀一2）2（2/+1）-（3兀一2）（2兀+1）2+兀（2尤+1）（2-3兀），其中x=【例33】已知：b+c-a=-2,29221求—a(a-b-c)+Z?(—c-—a+—b)+—c(2b+2c-2a)的值.【例34】分解因式：x3(x+y-z)(y+z-a)+x2z(z-x-y)+x2y(z-x-y)(x—z-a).【例35】若a、bc为AABC的三边长，且{a-b}b+a(b-a)-a{c-a)+b{a-c)

8、,则AABC按边分类,应是什么三角形？板块三：公式法平方差公式:a2-b2=(a+b){a-b)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：/+2“+戾=(°+仍2a2-2ab+/?2=(d-b)2①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式