必修5第1章教案

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§1.1正弦定理和余弦定理第一课时【学习目标】1.通过对直角三角形边角关系的研允，发现正弦定理，然后给出一般证明.2.能简单应用正弦定理来求三角形的边或角.【重点难点】重点：理解正眩定理的推导过程.难点：能简单应用正弦定理来求三角形的边或角.【学习过程】【自主学习】1.引入：在RtAABC中，C=90,根据正弦函数的定义，其边、角有如下关系:sinA=,sinB=.2.发现并推导正弦定理==—J.sinAsinBsinC3.认识正弦定理的作用.4.预习自测(1)在AABC中，若sinA=丄2,则A=:若cos4=丄，2则4(2)在AABC中，若C=90,6j=6,B=30,贝\c-b=A.1B.-1C.2^3D.-2yf3（3）在AABC中，己知A=45,C=30,c=10,则边长・【合作探究】例1在AA.BC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=3,b=Zcos4=丄，13求sinB和c的值.例2在4ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且A:B:C=3:4:5,a=（1）求角AbC的度数；（2）求b的值. 【小结】 正弦定理指岀了任意三角形屮三条边一对应角的正弦Z间的一个关系式.应用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：(1)已知两角与一边，求第三个角和另两边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他的边和角.【课后作业】1.在AABC中，若d=4,b=3,A=120,贝OsinB=.2.在AABC中，己知A=75,B=45,/?=4,求c的长.3.在AABC中,若a=50,b=25拆,A=45,求角B的值.§1.1正弦定理和余弦定理第二课时【学习目标】1.会用正弦定理求解三角形.2.熟记正弦定理的各种变形，会解较复杂的综合题.【重点难点】熟记正弦定理的各种变形，会解较复杂的综合题.【学习过程】【自主学习】识记下列结论：1.在AABC屮，根据正弦定理，有4>BosinA>sinB.2.在AABC中，还有：(1)6/::c?=sinA:sinB:sinC.(2)设R为AABC夕卜接圆的半径，贝'Ja=2/?sinA.b=2/?sinB.c=2/?sinC.3.预习自测1(1)在AABC中，s A=—,s B=^,则三边的比为a:b:c=22(2)在AABC中，下列等式恒成立的是B.bsinC=csinAD・asinC=csinA(3)在AABC屮，已知A=30,a=5d,c=10,求角B・【合作探究】例1在AABC屮，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,外接圆半径为r,已知°=&4=45,3=60,求b,c,r的值.例2根据下列条件，判断三角形解的个数.(1)已知d=20cm,b=28cm,A=45. (1)已知a=40cm,b=28cm,A=60.(2)已知d=40cm,b=10cm,A=60.变式训练：在AABC中，已知«=20cm^=llcm,B=30,解三角形.1()9(角度精确到1,边长精确到lcm,其中sin85,sin65«—)1111例3在AABC中，若」=试判断AABC的形状.cosAcosBcosC变式训练：在AABC中，若acosA=bcosBf试判断AABC的形状.【小结】1.使用正弦定理的关键是在三角形中找到一边及其对角的正弦值.2.对于正弦定理的多个变形式子，要学会根据题目中的条件选择合适的形式解题.【当堂检测】1・在AABC中，若d=J5,b=l,A=6O,贝ijc二()A.1B.2C.的-1D.>/32在AABC中，若心忑,b=,B=45,解这个三角形.【课后作业】1.在ZL4BC中，已知A=30,C=105,Z?=10,则°二.2.在AABC中，若d=4巧"=4血,人=60,求角C.3.在4ABC屮，若d=2bsin4,求角B的大小. 1.在AABC^，若皿二至卫，求角q的大小.tanBb§1.1正弦定理和余弦定理第三课时【学习目标】1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.2.能够简单地应用余弦定理.【学习过程】【自主学习】1.探究：已知一个三角形的两边和它们的夹角，如何求出三角形的另一边.2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余眩的积的两倍.即cr=Z?2+c2-2bccosA,b1=(r+cr-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.4.余弦定理另一种表现形式：.h2+c2-a2nc2+cr-b2厂a2+b2-ccosA=,COSD=,cosC=3.余弦定理的作用.lab2bc2ca2.提炼：设。是AABC的最长的边，则有△ABC是钝角三角形o/>b2+c2.AABC是锐角三角形oAABC是直角三角形o3.预习自测 (1)在AABC屮,a=4,b=4,C=30,则/6km,BC=2>/3km,ZABC=45,则A、C两地的距离为km.2.已知两灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于dkm,幻塔A在观察站C的北偏东20。方向，灯塔B在观察站C的南偏东40。方向，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.GD.2g【课后作业】1.已知A船在灯塔C的北偏东80处，且距离为2km,B船在灯塔C的北偏两40处,CA、B两船间的距离为3km,则B船到灯塔C的距离为km.D2.甲船在湖中B胡的正南方向A处，测得AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60方向驶去，求行驶15min时两船间的距离. §1.2应用举例第二课时【学习目标】应用正弦定理和余弦定理解决实际中高度的测量问题.【重点难点】重点：应用正弦定理和余弦定理解决实际屮高度的测量问题.难点：分析测量问题的实际情景，找到测量高度的方法.【学习过程】【问题解决】阅读课本例3、例4和例5,初步学习高度的测量方法与计算.【合作探究】mA例如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=60,在塔底C处测得A处的俯角0=45.已知铁塔BC部分的高为24m,求山高CD.【当堂检测】1.在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔顶仰角为60，塔底4塔的高为()A.20(l+¥)mB.20(1+5/3)mC.10(^6+V2)mI2.在200m高的山顶上，测得山下一高楼的楼顶、楼底的俯角分高为m. 【课后作业】1.如图，在地面上A、B两点仰望一了望塔CD的顶端C,得仰角分别为60和30,又在塔底D测得ODB=60.已知4B=10Qm,求了望塔CD的高度.2.一架飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10000米后，到达位置B测得正前下方目标C的俯角为75,求这时飞机与地面目标C的距离.课本第19页第4・8题.§1.2应用举例第三课时【学习目标】应用正弦定理和余弦定理解决实际中角度等的测量问题.【重点难点】重点：应用正弦定理和余弦定理解决实际屮角度的测量问题.难点：分析测量问题的实际情景，找到测量角度的方法.【学习过程】【问题解决】阅读课本例6,初步学习角度的测量方法与计算.【合作探究】 例如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60。方向的B处，且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东Q的方向追赶渔船乙，刚好用2小吋在C处追上.（1）求渔船甲的速度;（2）求sina的值.A【练习】甲船在A处遇险，甲船西南10海里B处的乙船收到甲船发出的求救信号后，测得甲船正沿着北偏东165的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如杲乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应沿什么方向以怎样的速度航行？【当堂检测】如图，在海岸4处发现北偏东45方向，距A处（V3-1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10巧海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜•问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时问.A 【小结】解三角形应用举例中，在处理问题时一般要分以下几步：分析：理解题意，分清己知与未知，画出示意图.建模：根据己知条件与求解目标，将实际问题转化为抽象的数学问题.求解：利用正余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而求得实际问题的解.§1.2应用举例第四课时【学习目标】应用正弦定理和余弦定理解决一些有关三角形的计算和三角恒等式的证明问题.【知识梳理】1.正弦定理一纟一=一2—=」一•sinAsinBsinC2.余弦定理/=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2-cr+b2-labcosC.3.21ABC的5=—absinC=—Z?csinA=lcasinB.2224.预习自测(1)在AABC中，A=30,B=120,c=2，则AABC的面积为()A.—B.^3C.3n/3D.32(2)在AABC中，已知b=4羽,C=60,则BC边上的高等于()A.^3B.2^3C.4^3D.6(3)在/ABC屮，若A=120,AB=5,BC=7,则AABC的面积为.【问题解决】rr例I在ZC中，若A盲的面积为求a的值.例2—块四边形土地ABCD的形状如图所示，ZADB=60,ZBDC=45,Z3CD=120,AD=10cm,AB=14cm,求四边形土地的面积. 例3在AABC中，求证:(1)a2+/?2_sin2A+sin2Bc2sin2C(2)c(acosB-bcosA)=a2-b2.例4在AABC中，己知cosA一2cosC_2c-acosBbsinCsinA的值;(2)若cosB冷,b=2,求4ABC的而积S.例5如图，在AABC中，ZABC=90,AB=yf3,BC=,P为厶ABC内一点，ZBPC=90.(1)若PB丄求B4；2(2)若ZAPB=150,求tanZPBA. 【当堂检测】1.在AABC中，A3=3,BC=JT5,AC=4,则AC边上的高为2.在AABC中，若4=105,3=45少=2血，求c和这个三角形的面积.3.某城市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知某种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A.450。元B.225a元C.150。元4.在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为aAc,已知a,b是方程F_辰_1=0的两根，且ZC=60,则c=.5.在zlABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:acosB+bcosA=c.【课后作业】1.一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30。角，树干底部与树尖着地处相距5米,求树干原来的高度.1.在AABC屮，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（+c2-&2）tanB=^c,求角B的大小. 3.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tr+c1=crbe,求:（1）求角人的大小；（2）求2sinBcosC-sin（B-C）的值.