2018版高中数学人教b版选修1-1学案3.1.1函数的平均变化率

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1、THETHIRDCHAPTER第三章导数及其应用3.1导数3・1.1函数的平均变化率［学习目标］1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义2会求函数在也到也+心之间的平均变化率3掌握求函数几V）在兀0到也+心之间的平均变化率的方法与步骤.尹预习导学/挑战自我，点点落实［知识链接］很多人都吹过气球，冋忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越來越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢?答:气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位:L）之间的函数关系是/

2、加到1L吋，气球半径增加了心）一厲0戶0・62（dm）,气球的平均膨胀率为dO)1-0~0・62(dm/L)・（2）当V从1L增加到2L时,气球半径增加了«2）-r（l）~0・16（dm）,气球的平均膨胀率为心一心）2-10.16(dm/L).可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了.［预习导引］1.函数的变化率的定义已知函数y=/U）在点x=x0及其附近有定义，令Ax=x一兀°；△y=y—>o=A兀）~兀（））=/U（）+心）一A兀o）•则当心H0,比泌弋二迪=鲁叫做函数y=J（x

3、）在xo到兀。+心之问的平均变化率.2.平均变化率的计算过程自变量的改变量心=也一七函数值的改变量—)，1=/(兀2)—/(兀1)=/(兀1+心)一心)Ay_力_”_恥)一/(兀1)_、加+心)_心1)AxX2~XX2~X［Ax尹课堂讲义全重点难点，个个击破要点一平均变化率例1已知函数/?(X)=—4.9P+6.5兀+10.(1)计算从x=l到x=l+Ax的平均变化率，其中心的值为①2；(2)1；(3)0.1；④0.01.(2)根据⑴屮的计算，当心越来越小吋，函数处)在区I'nJtlJ+Ax］上的

4、平均变化率有怎样的变化趋势？解(l)VAy=/z(l+Ax)-/z(l)=-4.9(Ax)2-3.3Ax,Ay••于=一4・9心一3・3・①当Ax=2时，务=—4.9Ax—3.3=—13.1；②当心=1时，譬=一4.9心一3.3=—8.2；A③当Ax=0.1时，式=一4.9心一3.3=—3.79；④当Ax=0.01时，気=—4.9A%—3.3=—3.349.(2)当Ax越来越小时，函数/U)在区间［1,1+Ax］上的平均变化率逐渐变大，并接近于一3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算自

5、变量的改变量心=兀2—兀1；(2)再计算函数值的改变量△『=/(兀2)—.心1)；⑶得平均变化率护/2)-知)△X%2—兀］跟踪演练1求函数y=J(x)=3x2+2在区间［xo，x0+Ax］上的平均变化率，并求当也=2，Ax=0.1时平均变化率的值.解函数＞?=/(%)=3.?+2在区间［xo,x0+Ax］上的平均变化率为/Uo+Ax)—/Uo)_［3(也+心尸+2］—(3对+2)(应)+心)一也心6^Ax+3(Ax)2Ax=6x()+3Ax・当兀0=2,Ax=0.1时，函数y=3?+2在区间［2,

6、2.1］上的平均变化率为6X2+3X0.1=12.3.要点二求物体运动的平均速度例2以初速度％竖直向上抛一物体的位移s与时间/的关系为：s(/)=%r—务/2.(1)求物体从时刻A)到时刻r0+Ar这段时间的平均速度万:(2)求物体在t=10s到10.4s这段时间的平均速度.解(1)由®到%+△［,则改变量为A5=5(Zo+AZ)—5(/0)17=加0—刘0仏/一去(△/)：1.△«()—刃0・&—刃(△/)=R=b=%_g/o_(2)当r0=10s时,Af=0.4s,则物体在/=10s到10.4s

7、这段时间的平均速度—1v=%—10*—㊁X*X0.4=%—10.2&规律方法已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在［to,t0+Af］內的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在［to,to+At］内的平均变化率.跟踪演练2动点P沿兀轴运动，运动方程为兀=10/+5卩，式中/表示时间(单位：s),兀表示距离(单位：m),求在20W/W20+4时间段内动点的平均速度，其中(1)A/=1,(2)A/=0.1,(3)A/=0.01.解动点在20WZW20+"时间段内的

8、平均速度为—10(20+4)+5(20+4)2—1°x20-5X202V=7"210事+5(亦Ar=5Ar+210,⑴当Az=l时，v=5Xl+210=215(m/s)(2)当△/=()」时，v=5X0・l+210=210・5(m/s)(3)当A/=0.01时，~u=5X0.01+210=210,05(m/s).要点三平均变化率的实际应用120例3蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为％)=拦+15,其中％)为体温(单位：°C),t为太阳落山后的时间(单位：min).求