2018版高中数学人教b版选修1-1学案3.1.1 函数的平均变化率

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案3．1　导　数3．1.1　函数的平均变化率[学习目标]　1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义.2.会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.3.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝

2、，(1)当V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．(2)当V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率的定义已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．则当Δx≠0，比值＝叫做函数

3、y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．52017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．平均变化率的计算过程↓函数值的改变量Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)↓要点一　平均变化率例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解　(1)∵

4、Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法　求平均变化率的主要步骤：(1)先计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)再计算函数

5、值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)得平均变化率＝.跟踪演练1　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝52017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二　求物体运动的平均速度例2　以初速度v0竖

6、直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s(t)＝v0t－gt2.(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间的平均速度；(2)求物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度．解　(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝Δtv0－gt0·Δt－g(Δt)2.＝＝＝v0－gt0－gΔt.(2)当t0＝10s时，Δt＝0.4s，则物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度＝v0－10g－×g×0.4＝

7、v0－10.2g.规律方法　已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率．跟踪演练2　动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.解　动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为＝＝＝5Δt＋210，(1

8、)当Δt＝1时，＝5×1＋210＝215(m/s)(2)当Δt＝0.1时，＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)(3)当Δt＝0.01时，＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．要点三　平均变化率的实际应用52017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案例3　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t＝0min到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率．(2)体温T(t)