22函数的单调性与最值

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1、§2.2函数的单调性与最值教学目标1・理解函数的单调性、最大值、最小值及其儿何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3•能将函数单调性、最大（小）值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.学习内容闿-知识梳理1.函数单调性的定义增函数减函数设函数y=f（x）的定义域为A,区间如果取区间M中任意两定个值X1，兀2，改变量心=疋一X]>0,则当义—心）>0时,就称函数v^y=f(x,)-f(x{)<0时，就称函数=/⑴在区间M上是增函数y=f（x）在区间M上是减两数图y=f{x)—2)y；/

2、（刘）；用2）'11r.r,Y象0*1丄~~XO耳1人2X自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间〃上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间対上具有单调性，区间〃称为单调区间.惫例题讲解题型一函数单调性的判断mii讨论函数/u）=七（。>0）在用（一i,i）上的单调性.XL思维启迪可根据定义，先设-l

3、兀2+])Ui-1)(£-1)(-4-1)(£-1)T

4、-1••兀2-兀1>0,兀［兀2+1>0，(#-1)(^2-1)>0.又TaX),•••/Ui)~f(X2)>0,•••函数./（X）在（-1,1）上为减函数.思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:取值一设•上是定义区间内的任意两个值•且a1<12作差、变形定号作差f（H】）一f（卫）（或/（^）-f（X］））»并通过因式分解、配方、有理化等方法•向有利于判斯差的符号的方向变形确定差/（工1）—J（工？）（或J（工2）—/（工1））的符号•当符号不确定时•可以进行分类讨论判断根据定义作出结论U巩

5、固】⑴已知。>0,函数J（x）=x+-（x>0）,证明：函数7U）在（0,込］上是减函数，在［込，+«）上是增函数:（2）求函数）=d『+x—§的单调区间.⑴证明设七是任意两个正数，且00，即几“）*2），所以函数7U）在（O,逅］上是减函数；当y［a^：Xa,又山-兀2<0,所以/Ui）-兀"2）<0,即几⑴勺也），所以函数/（x）在［、帀，+8）上是

6、增函数.⑵解令m=x2+x-6,y=fx2+x-6可以看作有y=yfi（与”=/+兀-6的复合函数.由u=X1+x-6^0,得兀W-3或x22.+在（-8,-3］上是减函数，在［2,+8）上是增函数，而厂⑷在（0,+8）上是增函数.•••y=心+x-6的单调减区间为（-8,-3］,单调增区间为［2,+8）.题型二利川函数的单调性求参数U例2】⑴如果函数fix）=ax2+2x~3在区间（一^,4）上是单调递增的，贝U实数d的収值范围是（）1、1A・才B.口三一才D・—C・一（2a）x+1yx

7、已知问町，心，满足对任意g"都出罟>。成立，那么。的取值范围是——思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.3答案(1)D(2逅，2)解析(1)当0=0时，7(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的，故在(-8,4)上单调递增；当°工0时，二次函数/U)的对称轴为x=因为/(x)在(-8,4)上单调递增，所以a<0,且-丄24,解得0>心综合上述得-鲁0WO.(2)由已知条件得/U)为增函数，2-a>0a>,、(2

8、-a)Xl+lWd33解得号Wo<2,的取值范围是［刁2).思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间［a,b］上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除各段要单调外，还要注意衔接点的取值.甌固】⑴函数y=丄一土在(T,+®)上单调递增，则a的取值范围是()XCIA.a=—3B・a<3C.aW—3D.dN—3(2)己知=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(A・(1,+°°)B.[4,8)c.(4,8)答案(1)C(2)BD.(1,8)+2El)解析(i)

9、y=a-3+兀_@+2)'由函数在(-1,+8)上单调递增,a一3<0有｛_,解得aW-3.(2)因为兀0是R上的单调递增函数,帀＞1,解得4故选B.所以可得＜4_2＞0,心4-£+2.题型三函数的单调性和授值U例3】已知定义在区间(0,+8)上的函数心)满足/(¥)=/%)—/(乃)，且当兀>1时，./(x)<0.