函数的单调性与最值

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1、函数的单调性与最值高三数学组李玉行2011/9/17知识梳理一、单调性1．定义：如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、

2、.二、最值3.函数的最大（小）值：设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的。4．函数的最值的求法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法正确的

3、是①有且只有一个②有2个③至多有一个　④没有根2.已知f(x)是R上增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x）则F（x）是R上的函数3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是.4.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)＜2f(4)的解集为.5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为.4典例剖析例1判断函数f(x)=在定义域上的单调性变式训练1求下列函数的

4、最值与值域：（1）y=4-;(2)y=2x-;(3)y=x+;(4)y=.例2：定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.评注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.变式2：（指数型）设定义于实数集R上，当x＞0时，＞1，且对于任意实数x、y，有(x+y)

5、=·，同时(1)=2，解不等式(3x－x)＞4．变式3：（对数型）已知定义域为R的函数，同时满足下列条件：①=，4=；②=＋.（1）求、的值；（2）若，解不等式.变式4：（幂函数型）已知函数对任意实数x、y都有=·，且=1，=9，当0≤x＜1时，0≤＜1时．（1）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明；（2）若a≥0且≤，求a的取值范围．例3：设，求在时的最大值和最小值。变式5：已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则.变式6：已知方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根为x1、x2,并且0

6、(-2,-)D.(-2,-)变式7：已知函数的定义域为，求的值。4变式8：已知为常数，且，，又，方程有等根.(1)求的解析式；（2）是否存在实数，使得的定义域和值域分别是和.巩固提高1.已知函数f(x)=ax2+bx-1(a,b∈R且a＞0)有两个零点,其中一个零点在区间(1,2)内,则a-b的取值范围为（）A.(-∞,-1)                    B.(-1,+∞)                       C.(-∞,1)                   D.(-1,1)2.设f(x)=

7、2-x2

8、,若0＜a＜b,且f(a)=f(b),则ab

9、的取值范围是(   )[来源:学科网ZXXK]A.(0,2)                   B.(0,2］                        C.(0,4］                  D.(0,4)3．（一次函数型）函数对任意的，都有，并且当.(1)求证：是上的增函数；（2），解不等式.4．设函数．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．4