求函数的极限论文

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1、求函数极限的几种特殊方法专业：数学与应用数学班级：XXXX级木科(X)班姓名XX学号：XXXXXXXX摘要：求解函数极限为高等数学研究的基木内容之一，但由于函数种类之多，所以求解函数极限的方法也很多，下面主要是通过举例介绍求解函数极限的儿种方法.关键词：函数极限特殊求法函数是高等数学研究的基木对象之一，可是极限是其研究的重要工具，所以是大家所必须掌握的内容之一，但由于函数的种类繁多，因而在如何求解函数的极限问题上尤为困难，故掌握一定的求解函数极限的方法是十分必要的•下而是通过举例来介绍几种求解函数极限的特殊方法，试图扩大大家对求解函数极限进一步的认识.一、

2、利用洛必达法则求解函数极限定理一若函数/(兀)和g(x)满足：(1)lim/(x)=limg(x)=0；.r->x0兀(2)在U°(xQ)内两者都可导，且gG)H0；(3)lim上凹=A(4为任意的实数，包括±oo或oo)•f。gx)则：lim但=limd=A.f0g(x)fbgx)定理二若函数/⑴和g⑴满足：(1)limf(x)=limg(x)=oo；X—>.Vq(2)在C/°(x0)内两者都可导，口(3)=A(A为任意的实数，包括±oo或oo)fgG)则：lim型X*g(x)fogf(x)洛必达法则常用來求不定式的极限，上面两个定理分别介绍了用洛达

3、法则求关于9型和竺型不定式极限，对于其他形式的不定式极限，可以曲这两种形式通过取对数000②5lim(x+Vl+x2),nx;XToo或取倒数进行转化而得到，在此不对其他形式的定理进行详述•但是在利用洛必达法则求解函数极限时要注意，洛必达法则是用來求解不定式的函数极限，对于不是不定式形式的函数极限，我们则不能采用洛必达法则进行求解.例1：求下列函数的极限①lin/宀讣EXT/r“SinX1③limx3(lnx)2.解：①木题为9型的不定式的极限，根据洛必达法则可以求得.0“(x2一疗2)sin5x「(x-7r)(x^7r)sin5xlim；=lim-；x-

4、M1xT/r〃s】nr1■・2^(x-^)sin5x=lim；严.工-1=2>rlimxT/rsin5x+5(x-兀)cos5x小「10cos5x-25(x-^)sin5x=2/rlimxf2cos2x=—10%•②木题为00°型的不定式极限，可以通过取对数进行转化为竺型的极限来求00解，以便使此问题得到简化.因为in(x+V?77)^=21n(x+Vr77)lnx所以1limln(x+Vl+x2=2limln(x+^1+x~)=21im^4^=2x—>cox—>0C]nXXfgI因此得lim(x+Vl+^2),nv=e2X->OO故25lim(x+Vl+

5、x2),nx=5e2.XToo③木题为0・oo型的不定式极限，因此可以通过取倒进行转化为竺型的函数极00限，进而简化问题.所以得2limx3(lnx)2-lim山=恤_2疋lnxx->o+x->o+1x->o*32vlnx2vr=——lim——=——lim—3x"J_3-3x4x3=--lim(--)x3=0・3"3.t-sinx_[例2：求lim——・goarcsin片分析：洛必达法则是求极限的一种有效方法，但有时计算过程较为麻烦，耍注意及时化简并与求极限的其他方法相结合(如等价无穷小代换等)，以便简化运算.解：此题是一个#型的不定式，可以先进行等价无穷

6、小代换因为疋-It(xtO)所以ex~sinx一1〜x-sinx(xT0),又因为arcsinx~x(x—>0)，所以arcsinx3〜T0)所以lim-―=limX~S；nXxtoarcsinx力limxtO1-cosx1-6一一“sin兀.・cosx=lim=limxto6x2°6例3：如果函数于在点。处具有连续的二阶导数，证明：hmf(a+h)+f(a-h)-2f(a)="TOh分析：这是一个9型的不定式极限，可以先运用洛必达法则进行求解，再运用导数的定义求导.解:原式二lim厂（。+力-厂（心）丿一02/?二1Hm（厂@+力）一厂@）+厂―厂@）2

7、"h-h=£（厂（Q）+厂（。））=厂（d）・二、利用泰勒公式求解函数极限泰勒定理：如果函数/在点勺处存在直到斤阶的导数，则有/（x）=7；（x）+o（（x-xor）,即/（兀）=/（兀0）+/'（兀0）（兀_尤0）+/］「"（兀_兀0）2丄_（兀—尤（））"+。（（兀一兀0）"）2!n上式则称为函数/（X）在点如处的泰勒公式•当兀（）=0时，泰勒公式又称为麦克劳林公式.我们把7；⑴=/（兀0）+厂（兀0）（兀—兀0）+'［严（兀一兀尸+•••+'J（x—兀0）"叫2!n做函数/（X）在点心处的泰勒多项式.泰勒公式的意义：泰勒公式给出了函数于（兀）关

8、于x-x0的一个〃次多项式人（x）,它与函数/⑴的差/?”⑴X。）