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《数值分析习题解二三章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、12.设£(x)是k次Chebyshev多项式，证明⑴你代⑴卜几(小(2)臨，兀)+£_(兀)=27；⑴人(兀)・证明：由Chebyshev多项式的定义，也(x)]=cos(加•arccos(cos(”•arccosx)))=cos(m•n•arccosx)=Tmn(x)Tm+n(x)+©_“(x)=cos((m+〃)•arccos兀)+cos((加一/?)•arccos兀)=2cos(/narccosx)cos(/I-arccosx)=2TM(x)Tn(x)13.求函数f(x)=y/Ux2在区间［0,1］上的一次最佳平方逼近多项式。解：方法一(用多项式1,兀，
2、兀S…作基底)令％(x)=l,%(兀)=兀，设所求多项式为S"(x)=tz0+tz1xo因为x2dx(%,%)=(疋血(/'%)=[启(/，©)=fxVT+x^dr3所以关于和勺的法方程为r1——120()11_23_1■—+-ln(l+22、a()=0.93432a.=0.42695因此所求最佳平方逼近多项式5*(^)=0.93432+0.42695%。方法二(用Legendre正交多项式£)(x)=l,片(%)二兀，£(%)二*(3扌-1),吩)=*(5疋_3兀),…作基底，特别需要注意的是Legendre正交多项式的正交区间是［-1,1］,当所给区间［a问
3、工［-1,1］,需要先利用变换将国列转化为［-1,1］)因为［0,1卜［一1,1］,令x=*(l+f),呵—1,1］,则/(x)=l+R(l+r)］=#4+(1+厅F⑴令0O(/)=E(/)=1，%(/)=£")=/，贝U(0，0j)=0,宀2。因为2M，l=J(F,%)=f+j4+(l+r)7=血+111(1+血)，(尸如二”*j4+(l+r)2d/=
4、1(4+(1+/)2)2冷(l+°j4+(l+r)2—ln(=-(2V2-lj-V2-ln(l+V2)护_1)所以q：=几％!=1.14779357,a；=几纠=0.21347353,故F⑴在［-1,1］上
5、的(%，%)(0'0i)一次最佳平方逼近多项式为g(r)=a；h(r)+d：A(r)=1.14779357+0.213473531因此所求最佳平方逼近多项式S*（x）=g（2x-1）=0.93432+0.42695%。14＞求函数/（x）=sin7ix在区间［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式。解：方法一（用多项式1,兀，兀S…作基底）1，（0（），0）=（0，%）=］兀血=£，（%，02）=@2，%）=［Fck=**，@，02）=（02，®）=（疋心=£，@2，©）=［十心=£，（/，%）=fxsin7rxdx=~,（/,輕）=（71兀⑷所以关于勺，q和色的法
6、方程为令0o(x)=l,%(对=兀，02(x)=F，设所求多项式为Sx)=aQ+a{x+a2x2o因为(%，%)=［皿(处％)=卜沁=丄，X2sinTrxdx=丄—丄717V(/,%)=sin7rxdx=111223711111d]=23471111-a2_14345兀7T3a0=-0.050465na.=4」22512色=4122512因此所求最佳平方逼近多项式S^(x)=-0.050465+4.122512x-4.122512x2o方法二(用Legendre正交多项式作基底)因为[0,1]工[一1,1],令兀二一(1+f),/w[―1,1],贝!J2=s
7、in7t如）;兀t=cos—2所以q；=$^_2(%'00)上的二次最佳平方逼近多项式为S(0=a：)P()")+d；A⑴+a*(010120、1•、床(几0)”叮丽直嘤£一畀故F⑴在I】@2,02）71/2=—+71<71兀')因此所求最佳平方逼近多项式5*(x)=5(2x-1)=-
8、+^+717t〔15180、<15180、717T371518（）—4（15180）兀+4rI疗兀）=-0.050465+4.122512r4.122512x21212071、7JT令%（r）=^（r）=l，==t,©⑴二£（/）=*（引2T）则[0,心丿（0®）彳2.。因为力+
9、1昇_丿•cos空d/丄-竺271分（F,0）=[cos号dz=£,（F,0i）=（/・cos号d/=0,（F,如=（占（3尸一1）注：若题目没有明确要求使用哪种基底时，建议选用多项式基底，即方法一。15.给岀数据X・1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836希望用一次、二次和三次多项式，用最小二乘法拟合这些数据，并写出法方程组。解：由已知数据可得:■1£X：£€X-球%1-1.001.0000-1.0000001.000
10、000-1.000000
