数学分类思想动点问题剖析

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1、数学分类思想,动点典型题目剖析作者:河南省巩义市河洛镇初级中学杨景林1・如图:梯形ABCD中,AD〃BC,ZB=90°,AB=14cm,BC=21cm,AD=10cm,在AD上有一动点P由A向D以lcm/s速度运动,同时在BC上有一动点Q由C向B以2cm/s速度运动,只要有一动点到达终点,则另一动点也同时停止运动。问当经过时间匸时,AB边的中点E到PQ的距离为7厘米。BMqC解析:这是一道有关数学分类思想的典型题冃,要作出EF丄PQ,因为PQ时时在运动,准确判断F点的位置是解开此题的关键。(1)F在P点或Q上(两种情况)为什么?ZA二90。,ZB二90°,E为AB中点,月.EF二E

2、A二EB,所以这两种情况都不存在。(2)F在PQ之间,(三种情况)1.F在PQ中点上:解:设运动时间为ts,(由于21/2=10.5,10/1—10,所以t三10s)EF±PQ,AP=t,CQ=2t,BQ=21-2t,四边形AEFP和BQEF为两个全等的正方形,EF二BQ二7,则21~2t=7,t=7.2.F在P与PQ中点之间,如图BMqC解:过E作EF丄PQ,交PQ于F,连接EP、EQ,作PM丄BC交PM于M,在rtZlAEP和rtzdFEP,E为AB中点,AB=14,EF=EA=FB=7,EP二EP,rtZ1AEP^rtZ1FEP,PA二PF二t,同理在rtZ1EFQ和rtZ1

3、EBQ中,EF=EB,EQ=EQ,rt/EFQ竺rtZlEBQ,FQ=BQ=21-2t.在rtJPMQ屮,PM二AB二14cm,BM=AP=t,MQ=BQ—MB=21—2t—t=乂PQ=PF+FQ=t+21-2t=21-t・由勾股定律,PQ2=PM2+MQ2・即(21-t)2=142+(21-3t)2(解方程有简单方法,平方差公式)解之,t1=7,t2=7/2.2.F在Q与PQ屮点之间,如图:解:过E作EF丄PQ,交PQ于F,连接EP、EQ,作PM丄BC交PM于M,在rtZlAEP和rt/FEP,E为AB中点,AB二14,EF二EA二FB二7,EP二EP,rtZlAEP^rtZIF

4、EP,PA=PF=t,同理在rtZ1EFQ和rtZ1EBQ中,EF=EB,EQ二EQ,rt/EFQ竺rtZ1EBQ,FQ=BQ=21-2t.在rtZ1PMQ中,PM二AB二14cm,BM=t,MQ=BM-BQ=t-(21-2t)=3t—21.PQ=PF4-FQ=t+21_2t=21_t.(从图形可知:t>7,21-t<14.所以,此种情况不存在。由于rt/PQM中,PQ为斜边,理应大于任一角边)综上所述:当t=7,或7/2时,AB边的中点E到PQ的距离为7厘米。

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