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1、数学分析课题设计报告姓名：不懂事的丫头班级：学号：学院：信息工程学院专业：计算机科学与技术指导：日期：2012-01-05目录1绪论32对称性在定积分中应用32.1对称性在积分的相关定义32.1.1相关定理32.1.2对称性的应用32.2对称性在广义积分中的定义与应用42.2.1和关定理与定义4222对称性的应用42.3对称性在二重积分中的定义与应用52.3.1相关定理与定义52.3.2对称性的应用62.4对称性在三重积分中的应用72.4.1相关定理的定义72.4.2对称性的应用73对称性在曲线积分中应用83.1曲线积分的相关定理及应用83.1.1和关定理与定义83」.
2、2对称性的应用84.曲面积分的相关定理及应用84.1.1相关定理94.1.2相关应用95小结10参考文献10论文题目：对称性在积分中的应用【摘要】我们知道对称性在我们日常生活屮广泛应用，积分的计算是计算积分的一个难点，积分在数学分析中是很重耍的一部分，积分在计算的过程中，我们会经常遇到一些积分区域或是被积函数具冇对称性的特点，如果巧妙地将对称性应用到其运算屮，便可简单、快速、准确的计算出计算结果。避免了冗杂的计算过程.本文介绍儿种常见对称性在定积分与广义积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲而积分屮的应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分
3、，曲线积分，曲面积分的计算，除此Z外，通过变量的轮换对称性可以更简洁的计算曲面积分。【关键词】积分；对称性；奇偶对称；应用；1绪论积分在数学分析中是很重要的一部分，积分在计算的过程中，我们会经常遇到一些积分区域或是被积函数具冇对称性的特点，如果巧妙地将对称性应用到其运算屮，便可简单、快速、准确的计算出计算结果。避免了冗杂的计算过程，有的甚至可以直接目测出答案，总之再利用对称性计算积分是解决问题的一种探索性发法，除此Z外对数学编辑器的使用也是我进步很多，懂得了很多，总Z,做这次报告对我來说意义重大，掌握并利用这种方法可以开拓我们的想像空间，培养创造性思维，更冇效快捷的解决
4、一些复杂的问题，对我们的学习能力的提高冇很重要的影响。2对称性在定积分中应用2.1对称性在积分的相关定义2.1.1相关定理1：设f(x)在区间卜a,a］上可积;若f(x)为奇函数，则£/WJx=O；若f(x)为偶函数，则f.f(x)dx=2(f(x)dx；2.1.2对称性的应用例1.0计算积分『de2+cos0令&=兀一兀d62+cos0de2+cos0dx2+cos（/r一x）=-rdx2-cosx其中/W=为偶函数,=-rdx2+COS（7T—X）dx2—cos〃在令tan討,则:22兀2.2对称性在广义积分中的定义与应用221相关定理与定义(1)平面图形的面积y=
5、/(x)在卜力］上的一般连续曲线，所围面积/⑴
6、必，更一•般的由上下两条连续的曲线)y门⑴，与)匸/2(x)两条直线x=ax=b所围图形的面积s=£
7、/2(x)-/l(x)p/x・如果曲线为极坐标方程r=厂⑹，处(40),把扇形分成n个小扇形近似求和取极限所围图形的面积的计算公式为S=limVl/2r2(^)A^=1/2frO)ddII川——()铝&(2)平行截面间立体的体积由两平而截得立体，如果它连续对其进行分割切成N个薄片，近似求和，取极限所围图形的体积的计算公式为v=lim丈=1/2puxxII川->0/=!'2.2.2对称性的应用cos?tdt例3.0双纽线*
8、+》，2=/（兀2_丁2）所围图形的面积S,由双曲线坐标a2r2(cos20-sin$0)=a2r2cos20得r2=a2cos2&（r2>0,且角度的取值范围是［-龙/4,龙/4］与［3/4龙,5/4刃）,根据对称性计算得S対;性4*1/2［，4r2(0)d0=q?sE20d0=sin201^/4=tz2例4.0求两个圆柱面X2+Y2=aZ2+X2=/所围立体的体积。由对称性=8(/_兀3/3)G=16/3/2.3对称性在二重积分中的定义与应用4Zx2.3.1相关定理与定义定理1：设冇界闭区域D=D,Ua2,D^D2关于y或x轴对称。设函数f（x,y）在有界闭域D上
9、连续，那么（1）若D关于y对称，则0,如果/（兀,y）关于X为奇函数!"（心％2比（和,）畑如果/gy）关于X为偶函数I8其中D2={（x,y）eDlx>0}（2）若D关于对称，同理0,如果/(兀,刃关于Y为奇函数!"(心％2彷(和,)畑如果/(s)关于Y为偶函数I8其中D2={(x,y)GDIx>0}定理2：设冇界闭区域D关于y和x轴对称。设函数f(x,y)在冇界闭威D上连续且关于X和Y均对称，那么JJf(x,y)clo-=4JJ7(x,y)daDD、其中Q是D的第一象限部分：O,={(x,y)€Dly>0}定理3：设有界闭区域D关于原
