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《高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式32一般形式的柯西不等式素材2新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设aba2,a3,bi,b2,b3是实数，则(ai2+a22+a32)(bf+bzM^)2，当JI.仅当或存在一个数k,使得ai=kbi(i=l,2,3)时等号成立.2.—•般形式的柯西不等式设ai,a2,a3,…，an,bbb2,b3,…,bn是实数,贝!
2、(ai2+a22+…+塞)(b
3、2+b/+・•・4-b,.2),当R仅当或存在一个数k,使得ai=kbi(i=l,2,・・・，n)时，等号成立.知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯酋不等式，是从特殊到一般的认识过程，其屮三维形式的柯西不等式是过渡的
4、桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯四不等式來理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式來理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征•对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.-般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，耍从整体结构上认识这个不等式,形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用.疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需耍对数学式子的形式进行变化，拼凑般形式的柯西不等式相似的结构，/能应用，因而适当变形是我们应用一•般形式的柯
5、西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子屮，数或字母的顺序要对比柯西不等式屮的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起來，然后应用解题.2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应川时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1屮数字“1”的利用说明了处理问题与变形屮的灵活性，因此,不应对“1”视而不见.典题精讲abcbcci【例1】已知匕b,cWR・，求证：(-+-+-)(-+-
6、+-)^9.b思路分析：对应三维形式的柯西不等式,ai=a~b'32"rb2=Vrb3=而aib1=a2b2=a3b3=l，【天1而得iiE.证明：由柯西不等式，知左边二)2+(X[(X—)2=(1+1+1)2二9.・••原不等式成立.绿色通道：由a,b,c构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】已知a,b,cWR”且a+b+c=l,求证：——1-—+—>9.abc思路分析：利用“1”的代换來构造柯西不等式.=［（石）3（丽尸+（衣尸］证法一：丄+—+—=(a+b+c)ahc2(罷XJ丄+丽XJ^+
7、a/cXJ丄)2二(1+1+1)2二9.证法二：一+—+—-(a+b+c)(—+—+—)abcabcciabbcc二1+—+—+—+1+—+—+—+1hcacab=3+(—+—+—+—+—+—)^3+6^/—X—X—X—X—X—=3+6=9.bccababccaba【例2］己知ai,a2,•••>a「・都是正实数，且&+创+…+afl・求证:2思路分析：己知条件中&+加+・・・+斫1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为——a2厶2+色…，所以ai+a2+•••+aft=l.应扩大2倍后再利2%an-+Cln)2用，木题还可以
8、利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得?9-、丄Cl 左边二一!—+—=—6Z
9、+色+Cl^-[(ai+a2)+(a2+a3)+(g+aj+•••+(ani+an)+(an+ai)]X[(Q])2+(a2Jd]+。2血+色)2+(5)2]血+%)+(X)++(J%+色X)+(+Q
10、X)]取卜(卄+・・・+』冷十右[(4灼色)2+.・.+(勺一]+。2“2+°3J。”—I+色边.・••原不等式成立.证法二:VaER-,则a+丄M2,a心2-丄.a利用上而的结论，知二J2®/(2山+絢二⑷4+色Q]+E24+a?2242,同理，有亠詁-4,a2+a342>a
11、%an-X+an以上式子相加整理，得2222ax+。2a2+a3an-+anCln+a(ai+&2+・••+&】)=12证法三：对于不等式左边的第一个分式一，配制辅助式k(a,+a2),k为待定的正数，这%+a2里取k二—，贝ij—(ai+a2)22―———x—(at+a2)=ai.4+a24”％+勺4a2]同理,1(氐+加)三&2・a2+a34———(a»i+an)^anu%+色41—(an+ai)CIn+44以上式了相加整理，得22221a.a.£、I/1二12一(ai+a^+•••+an).ax+色%+anan+⑷2•.•a]+&+・・・+an=l,2
12、?22••
