浅谈如何把猜想应用到式子变形中去

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1、浅谈如何把猜想应用到式子变形中去佛山一中数学科李洁数学教学是思维活动的教学，在数学教学中，培养学生诸多能力中起核心作用的是思维能力。其中，学牛在实际学习中常要借助一种重要的思维活动猜想。猜想是创造性的思维活动。猜想在于估计事物的本质或事物Z间的联系，而不在于论证这种联系，它可能被证实，也可能被推翻。猜想并不盂要充足的理由，它冇能力跳过证明的-些个别环节，不按照通常的思维方式，是跳跃式的认识，因而它既不属于严格的形式逻辑思维，也不属于形彖思维，而被表述为“合情的推理”。如下例：例1：设a、b、c、d都是实数,且有

2、关系:(a2+b2)d2-2(a+c)bd+b2+c2=0,试证：a、b、c是公比为d的等比数列。设想一：把给出的关系式进行变形，但如何变，变成什么形式不知道，变到那是那，因此难以得到止确的结果。设想二：把它用十字相乘法进行因式分解，但尝试后以失败告终。设想三：以“d”为主元用公式法解此方程，但计算量大，且得不到题目所问的相应结果分析：这一•条题所给的条件不多，只有一条，但方程的形式较为复杂，必需变形，但变形成什么，盲目性较大。其实，若从结果入手：“耍证出a、b、c是公比为d的等比数列”即要得到“-=-=d”考

3、虑条件中的方程是整式方程，即要得到“a-bd=O,H.b-cd=O”bc两式。所以猜想方程可变形为“(a-bd)2+(b-cd)2=0”,把此式展开与条件中的方程对照，正好相同,即解此题思路已明。注意：猜想此题解法时，冇个地方很易让人误入歧途，在分析到“即要得到a-bd=(),且b-cd=0”这一步中，若逻辑关联词“且”抓不准，以为可有可无或谋认为象一元二次方■程的两个解的关系(XI或X2)—样是“或”的关系，则解题的方向就完全偏离了，因为这样的话，猜想的方程就应是"(a-bd)-(b-cd)=0”的形式了。显

4、然这是与原方程不符，因此得不到正确的解答。从上例可看出，用猜想去寻求解题思路时，并不是可以不负责任的胡猜乱想，猜想对思维提出更高的要求：思维的准确性，灵活性，批判性和创造性。在上例中，如果对形如“()2+()2=0”和“()・()=0”的式子的意义都不知道或抓不准，就难以作出有价值的猜想，曾有个数学家说过：数学素养越高，其猜想就越近于真实。所以，如果需正确应用猜想在式子的变形中时(-)熟知一些特殊结构的式子的意义。如：(1)/=川(表示a与b的绝对值相等，或a与b相等或互为相反数)。(2)a2+b2=0(表示a

5、与b均为0)。(3)ab>0(表示a与b同号，即a、b同为正数或a、b同为负数)。上面的式子可以把“二”、“〉”等，这些关系符号互换或两两组合(如组介a+b<0和ab>0,则表示a、b都是负数)作为补充练习，难度不会增加很大。但把上面的式了从a、b两者的关系推广到a、b、c三者的关系，则它们的逻辑关系就相对复杂多了，例如：(1)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0(表/j

6、0(表示a、b^c中至少有两个相等)。(4)(a-b)•(b-c)•(c-a)HO(表示a、b、c两两不等)。在判断字母和式了属性的时候，也需要了解一些常识，如：(1)y=2n,(n为整数)(表示y是偶数，即y能被2整除)(2)d+"+c+d(表示y是a、b、c、<1的平均数)等。4(二)对研究的对象或问题，联系已有的知识与经验逬行猜想。猜想是一种合情的推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，对于已有结论的问题，猜想成为寻求解题途径的垫脚石。例2：若a、b、c、d是四边形的四条边的长，口满足条件a4+b4+c4+

7、d4=4abcd,则这个四边形一定是()o(A)等腰梯形(B)矩形(C)菱形(D)邻边不等的平行四边形分析：四个选项都冇一组边是札I等的，由所给方程的对称性可猜想其余边相等，即可得到"a=b=c=d,猜想式子可变成为x2+y2+z2+w2=O的形式。尝试一：猜想原方程可变形为(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-d2)2+(d2-a2)2=0,对照原方程，不符。尝试二:猜想原方程可变形为(a2-b2)2+(c2-d2)2+m=0,(m为待定),对照原方程可得m=2(ab-cd)2o再由a、b、c、d的非

8、负性可推理得a=b=c=do所以答案为(C)。例3：若a是自然数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。分析：在没有判尬式子所表示的数是合数的时候，不能冒冒然对式子进行因式分解。考虑用特殊数字代入，以寻找规律。尝试：当a=l时，原数=7,是一个质数;当a=2时,原数=13,是一个质数；当a=3时，原数=63=9X7,是一个合数；当a=4时，原数=217=31X7,是一个合数;