《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

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1、《因式分解》全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅责编：李爱国【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2.掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法;3.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】>提公因式法因式分解►平方差公式■>公式法►完全平方公式>十字相乘法>分组分解法【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式•因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、

2、提公因式法把多项式ma^mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是（a+“+

3、（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.右边是两数的和(或差)的平方.(2)套用公式时要注意字母Q和方的广泛意义，d、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式F+fer+c,若存在C，则x2+bx+c=(x+p(x+q[p+q=h分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解

4、吋，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成儿组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解一一分组分解法.即先对题冃进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，添、拆项法等.因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法；(3)如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解.(4)结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、提公因式法分解因式¥1、分解因式：(1)Za2bc~-4abc；(2)+n)3+m(m+n)2—m(m+n)(m—n

5、).【答案与解析】解：(1)2a2bc2+Sac2一4acb=2ac(abc+4c-2b).(2)+加(加+n)2—+n)—m(m+n)[(tn++(m+n)—(m—n)]=m(m+zi)(m2+2mn+«2+2n).【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特別是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后对逆过来用整式乘法验证其正确与否.2、利用分解因式证明：257-512能被120整除.【思路点拨】25=52,进而把25?整理成底数为5的幕的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可.【答案与解析】证明：257-5,2=（52）7-51

6、2=514-512=5,2（52-1）=5,2x24=5"x5x24=5"xl20・・・257-5门能被120整除.【总结升华】解决木题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式.类型二、公式法分解因式©^3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：（尢+丁）2+4（尢一刃2-4（乂2一》2）,小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的.【思路点拨】把（兀+0、（兀一丿）分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答.【答案与解析】解：把（兀+y）、（;v_y）看作完全平方式里的a,h；原式=

7、（x+y『+2（兀_y）『_2x2（兀+y）（兀_y）=［（"刃一2（乂一刃了=（3y-x）2.【总结升华】本题主要考査利用完全平方公式分解因式，注意把（兀+y）、（jr_y）看作完全平方式里的Q,b是解题的关键.举一反三：【变式】下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4%+6）+4进行因式分解的过程.解：设x2-4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=b+8y+i6（第二步）=（y+4『（第三步）=（x2-4x+