《如何寻找解题的切入点》

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1、如何寻找解题的切入点求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？本文结合实例谈一些具体做法。1.紧扣定义理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。例1.若点M(x,y)满足J(兀+3尸+(y—1)2—

2、兀一y+31=0,则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解:由J(兀+3)2+(y_l)_-1兀一y+31=0,得V(^+3)2+(y-i)j=^丨兀一『+3丨42此式可以看成是动点M(x,y)到定点(-3,1)与到定直线兀-y+3=0距离之比为“的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C

3、。注：本题若移项再平方，可进行化简，但表达式屮会出现xy项，对曲线的形状的判断有点难度，通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义则能很快解决。2.深挖隐含隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被解题者忽视，从而造成错解或繁解，其至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。例2.已知x,y是实数,且满足(兀_1尸+1997(兀_1)=_1,(y—l)3+1997(y—l)=l,贝分析：按常规思路是解方程分别求出x和y,而x,y无法求出，思维受阻。若观察题目条件，发现(x-1尸+1997(

4、兀-1)与(y-1)3+1997(y-1)具有对称性。若令/(/)二八+1997/,贝y/(x-1)=U-1)3+1997(x-1),/(y-l)=(v-l)3+1997(y-l)o这样使两方程联系起来。解：令/(z)=r3+i997r贝ijf(x_1)=(x—1尸+1997(兀-1)=-1心_1)=0_If+i997(y_l)=]乂易知/(劝在R上是奇函数，则/(x-l)=-/(y-l)=/(l-y),又/(x)在R上是增函数，故x-l=l-y,即兀+y=2o例3.解方程组p+ll+ll-y

5、=4(1)柱+l

6、=3y—3⑵分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后

7、解方程组。但我们观察(2)式可以挖掘出一个隐含条件y-l>0,利用这个隐含条件可以避免讨论。解：由(2)知j-l>0,(1)式可以变形为

8、x+l

9、+(y-l)=4(3)由(2),(3)解得

10、x+l

11、=3.••禹=2,x2=-4,分别代入(2)得原方程组的解为x=2卩2=一4bi=2y2=21.展开联想对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想(联想定义、定理或解决过的类似问题等)，常常能启发思维，找到解题的切入点。例4.已知/(兀)是定义在R上的函数,且/(%+2)

12、1-/(%)]=!+/(%),/(x)Hl,y(l)=2+V3,求

13、/(1989)的值。分析：由/(x+2)[1-/(x)]=1+/(%)且/(兀)工1,a/U+2)=册联想到三角公式吨W册。心心的周期为"討,猜想可能为周期函数，8=2X4是它的-个周期。W：v/(x+2)[l-/(x)]=l+/(x),/(x)#1・・・/(兀+2)=1+/⑴1-/(%)/(x+4)=/[(%+2)+2]1+/(兀+2)二__1_!-/(%+2)/(x)f(x+8)=f[(x+4)+4]=-1=/(x)/(兀+4)因此/(x)是以8为周期的周期函数。/(1985)=/(248x8+l)=/(1)=2+V3/(1989)=/(1985+4)=i—/(1985)*一21.

14、把握转化化归与转化的思想方法无处不在，它是寻求问题解决过程中最垂要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基木、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。例5.两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线屮，成异面直线的共有多少对？分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？②如果两条异面肓线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面肓线？故可把木题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是C：-12=58个；②的答案是3对，故本题答案为58x3=1

15、74对。点评：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异而直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。1.数形结合数形结合是寻找解题切入点的一条重耍途径，它是把己知或耍求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，耍熟练掌握一