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《高中数学人教A版选修4-1学案：第1讲4直角三角形的射影定理含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、直角三角形的射影定理学习目标导航I1.了解射影定理的推导过程.2.会用射影定理进行相关计算与证明.（重点、难点）阶段1‘认知预习质疑知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理1射影的相关概念阅读教材P20“探究”以上部分，完成下列问题.1•点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.2.线段在直线上的止射影，是指线段的两个端点在这条直线上的止射影间的线段.3.射影：点和线段的正射影简称为射影.教材整理2射影定理阅读教材P20〜P22“习题”以上部分，完成下列问题.1.文字语言直角三角形斜边上的高是两宜危边在
2、斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例屮项.2.图形语言如图1-4-1,在RtAABC中，CD为斜边AB上的高，图1-4-1则有CD2=ADBD.ac2=adab.B&=BDAB・O微体验o如图1-4-2,在RtAABC中，AC丄CB,CD丄AB于D且CD=4,则ADDB=()图1・4・2A.16C・2D.不确定B.4【解析】由射影定理A£>DB=CD2=42=16.【答案】A［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关「分组讨论疑
3、难细究）［小组合作型］与射影定理有关的计算已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC,BC的长度比为AC：BC=3:4.⑴求AD:BD的值;(2)若AB=25cm,求CD的长.【精彩点拨】先根据AC：BC与AD:之间的关系求出AD:BD的值;再根据斜边的长及AD:的值分别确定AD与BD的值.最后由射影定理CD—ADBD,求得CD的长.【自主解答】(dtaGadab,b&=bd・ab,・ADAB_AC2••BDAB=昴,即AD:BD=9:16.(2)VAB=25cm,AD:BD=9:16,916・•・AD=^X25=9(cm),
4、=石X25=16(cm),・・・CD=pAD・BD=79X16=12(cm).名师1.解答本题(1)时，关键是把鴛转化为(器上2.解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度.在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的.［再练一题］1.如图1-4-3,在RtAABC中，CD为斜边AB上的高，若AD=2cm,DB=6cm,求CDAC,BC的长.【导学号：07370019]【解】VCD2=ADDB=2X6=12,・・・CD=V^=2羽(cm)・VAC2=ADAB=2X(2+6
5、)=16,/.AC=y[6=4(cm)・VBC2=BDAB=6X(2+6)=48,・・・眈=你=4羽(cm).故CD,AC,BC的长分别为2寸5cm,4cm,4羽cm.［探究共研型］射影定理探究1除了用直角三角形相似的判定定理证明射影定理之外，你能用勾股定理证明吗？【提示】如图，在RtZABC中,•••AB—C'+BC2,・・・(AD+BD『=AC2+BC2,:.AD2+2ADBD+BD2=AC2+BC2,：.2ADBD=AC1-AD2+BC2-BD2.9：ac1-ad2=cd29oooBU—BD?=CD・,：.2ADBD=2CD2.:.
6、CD2=ADBD.在RtAACD中,AC1=AD1+CD2=AD1+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB.同理可证BC^BDAB.探究2直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.符号表示：如图，在厶ABC中，CD丄AB于D,若CD?=AD・BD,则厶ABC为直角三角形.证明如下:・:CD丄AB,・・・ZCDA=ZBDC=90。.又•:CI^=ADBD,即AD:CD=CD:BD,:.HACDs/CBD,:.ZCAD=
7、ZBCD.又・・・ZACD+ZCAD=90°,Z.ZACB=ZACD+ZBCD=ZACD+ZCAD=90°,即ZV1BC为直角三角形.卜例如图1-4-4所示,已知在△4BC中，ZACB=90°,CD丄AB于DDELACE,DF丄BC于F.图1・4・4求证：CD—AEBFAB.【精彩点拨】ZACB=90°,CD丄AB-CD2=AD-DB^CD3=AE-BFAB.【自主解答】VZBCA=90°,CD丄BA,:.CD2=ADBD・又•:DE丄AC,DF丄BC,:.AD1=AEAC,BD1=BFBC,・•・cd4=ad2-bd1=aeacbf・bc=
8、ae・bfac・bc.而S^abc=^2^C,BC=^AB*CD9:.cd4=aebfabcd,即CD?=AEBF・AB.名师亞J1.解答本题的关键是利用S^bc=
