2017年高数学人教a版选修4-1学案：第一讲四直角三角形的射影定理word版含解析

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1、四　直角三角形的射影定理1．掌握正射影即射影的概念，会画出点和线段的射影．2．理解并掌握射影定理，并能解决有关问题．1．射影从一点向一条直线所引垂线的______，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条线段的__________在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．点和线段的正射影简称为______．【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是(　　)A．点B．线段C．与MN等长的线段D．直线2．射影定理文字语言直角三角形斜边上的____是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两条直角边分别是它们在______上射影与斜边的比例中项符号语

2、言在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝________；AC2＝________；BC2＝________图形语言作用确定成比例的线段(1)勾股定理：AC2＋BC2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋CD2＝BC2.(2)面积关系：AC·BC＝AB·CD＝2S△ABC，＝＝.【做一做2－1】如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，且CD＝4，则AD·DB等于(　　)A．16B．4C．2D．不确定【做一做2－2】如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在AB上的正射影为D，且AC＝3，AD＝2，则AB＝________

3、__.答案：1．垂足　两个端点　射影【做一做1】D　当MN⊥l时，射影是一个点；当MN与l不垂直时，射影是一条线段；特别地，当MN∥l或MN在l上时，射影与MN等长，线段MN的射影不可能是直线．2．高　斜边　BD·AD　AD·AB　BD·BA【做一做2－1】A　∵AC⊥CB，CD⊥AB，∴AD·DB＝CD2.又CD＝4，∴AD·DB＝42＝16.【做一做2－2】　∵AC⊥CB，又D是C在AB上的正射影，∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.又AC＝3，AD＝2，∴AB＝＝.用射影定理证明勾股定理剖析：如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射

4、影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则AC2+BC2＝AD·AB+BD·BA＝(AD+BD)·AB＝AB2，即AC2+BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．题型一与射影定理有关的计算问题【例题1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高，AB＝25，AC＝20，试确定DB和CD的长．分析：用射影定理求出AD，从而求出DB，再用射影定理求出CD．反思：(1)本题可先用勾股定理求出BC，再用射影定理求出BD，最后用勾股定

5、理求出CD；此外还有其他方法．(2)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，有时需要与直角三角形的其他性质相结合来综合求解．如本题中，直角三角形中的六条线段AC，BC，CD，AD，DB，AB，若已知其中任意两条线段的长，就可以计算出其余线段的长．题型二与射影定理有关的证明问题【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC．分析：先由射影定理得AC2＝CD·BC，即＝，又由EF∥AD得＝，通过中间变量即可求得．反思：利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较

6、常见，在解题过程中，应弄清射影定理中成比例的线段，再结合比例的基本性质加以灵活运用．答案：【例题1】解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB.∴AD＝＝＝16.∴DB＝AB－AD＝25－16＝9.∴CD＝＝＝12.【例题2】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，由射影定理，知AC2＝CD·BC，即＝.∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.∴＝，∴＝.∴＝，即EF∶DF＝BC∶AC.1在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于点Q，如图所示，NQ＝3，则MN等于(　　)A．

7、3PNB．PNC．D．9PN2在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)A．B．C．D．3(2011·陕西宝鸡质检)已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2cm，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点B，AB＝cm，则△ABC的面积为__________cm2.4如图，已知AD是△ABC的高，DP⊥AB，DQ⊥AC，垂足分别为P，Q.求证：AP·AB＝AQ·AC．5如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE·BF·AB＝CD3.答案：1．C　∵MN⊥MP，MQ⊥PN

8、，∴MN2＝NQ·PN，又NQ＝3，∴