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《高中数学北师大版选修2-2学案：14数学归纳法含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1•了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)阶段1认知预习质疑(知识梳理要点初探)［基础•初探］教材整理数学归纳法阅读教材P16〜P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数H有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第-个值仪(如处=1或2等)吋,命题成立；(2)在假设当=妙呦)时命题成立的前提下,推出当〃=比+1时,命题成立.根据⑴⑵可以断定命题对一切从塑开始的正整数h都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对
2、象是与正整数斤有关的命题.(2)在用数学归纳法证明屮，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤⑵的证明必须以“假设当n=k(k$n°,kGN+)时命题成立”为条件.°微体验°判断(止确的打“厂，错误的打“X”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步％的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()【答案】(1)X⑵X(3)V［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2翻［小组合作型］类型1用数学归纳法证明等式»例5+3)(+4)(心+)时第一步验证斤
3、=1时，左边应取的项是((1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(/?+3)=A.1C.1+2+3B.1+2D.1+2+3+4(2)用数学归纳法证明(n+l)-(n+2)••…(n+n)=2nX1X3X…X(2斤一1)SWN+),"从R到R+1”左端增乘的代数式为・【导学号:94210022］【自主解答】(1)当〃=1时，左边应为1+2+3+4,故选D.(2)令Xn)=(n+l)(n+2)-(n+n),则阳=伙+1)•伙+2)…伙+Q,j{k+1)=伙+2)伙+3)・・・伙+k)(2k+1)(2R+2),所以于养讨)=(2k+l)(2k+2)k~~1=2(2k+l).
4、【答案】(1)D(2)2(2/:+1)名师膻J数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2•递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“炉到“R+1”的过程中，要正确分析式子项数的变化•关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到兀=比+1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.1.利用假设是核心在第二步证明n=k+成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“料=鸟+1",在书写fik+1）时，一定要把包含的式子写出来，尤其是中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就
5、不是数学归纳法.［再练一题］1.下面四个判断屮，正确的是（）A.式子1+外"+・・・+/（用N+）中，当7?=1时，式子的值为1B.式子1+R+X中，当n=1时，式子的值为1+RC.式子1+*+*2”；］（〃WN_）中，当n=l吋，式子的值为l+*+gD•设弘尸缶+馬+…+专所（”毎N+）,则处+1）=/W+矗是+#5+詁刁【解析】A中，斤=1时，式子=l+k;B中，斤=1时，式子=1;C中，”=1时，式子=1+*+*；D中’,f（k+）=Ak）+3k+2+3k+3+3k+4—j^.故正确的是C.【答案】C类型2用数学归纳法证明不等式⑴用数学归纳法证明不等式计7+土+…
6、+土＞隽(刃22,/?GN卜)的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是⑵证明:不等式1【精彩点拨】⑴写出当n=k时左边的式子，和当n=k+时左边的式子,比较即可.(2)在由n=k到〃=£+1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】(1)当n=k+l时左边的代数式是出+出+・・・+詁「+增加了两项*1与畀？但是少了一项缶，故不等式的左边增加的弋十昙1+11二1八丁疋2k+2k+2k+(2R+1)(2k+2)•【答案】1(2k+l)(2£+2)(2)证明：①当n=时，左边=1,右边=2,左边＜右边，不等式成立.②假设当n=k(
7、k21且RWN+)时，不等式成立，即】+于韦+…+启＜2仄<2y[k~-则当n=k+l时，12y[lo]k++\jk~-1y]k+1=2ylk+].(yjlc)'+(Q^+1)?+l2(k+1)y]k+1寸k+1当n=k~~1时,不等式成立.由①②可知，原不等式对任意都成立.［再练一题］1.试用数学归纳法证明上例⑴中的不等式11713【证明】①当”=2时，i7T+2+2=T2>24-②假设当n=k(k^2且RGN+)时不等式成立，_1.1,.113即审+吊+…+丑>刃’那么当n=k+］时，丄+丄+・・・+Ik+2k+
